三阶行列式的性质
根据已经证明的关于2阶行列式的性质，3阶行列式也有同样的性质 性质 行列互换，3阶行列式的值不变，即 = 证明：等式左端的行列式按照第1列展开利用性质1可得
等式右端
■
性质 两行 (列) 互换，3阶行列式的值变号. (只给出行列式的前 2行变换的情形，其他情形类似). =
证明：把等式左端的行列式按第 3 行展开再利用性质3可得 = + + = 等式右端 ■
例0.4：计算下列行列式： （1） （2）
（3）
解：（1）
( 3) r1 r 2
解：（2）
( r 2 r 3) r1
c1 c2 c1 c3
注：此题的做法，对所有行(列)和相等的行列式均适用.
解：（3）
c1 c2 c1 c3
本讲小结
1、转置不变（行列等价） 2、行(列)加法拆项法则 3、行(列)倍乘 4、对换取反 5、倍加不变 6、行列展开公式 行(列)初等变换，产生尽量多的0元素. 初等变换，是行列式 计算中最常用的方法.
称为三阶行列式对其第一行的展开公式.
= = ( ) ( ) ( )
=
因此，我们已经有
类似地，我们也可以得到
以上三个式子分别称为三阶行列式对其第一、二、三行的展开公式.
同样也有三阶行列式对其一、二、三列的展开公式，即
易知，2阶行列式也满足这个结论，故我们就证明了以下的定理. 定理 2、3阶行列式等于它的任一行 (或列) 元素与自己的代数余子式 乘积之和.
■
性质2 若二阶行列式中某行(列)每个元素分成两个数之和，则该行列 式可关于该行(列)拆开成两个行列式之和，拆开时其他行均保持不变， 即 = + 证明： = ( = + ■
= (
)
(
性质3 两行(列)互换，行列式的值变号，即 = -
证明：由行列式的定义，等式两边都等于 注：1、由于行列等价，我们只对行来说明性质2.
利用性质计算行列式
例0.2：试证
= 2
利用性质计算行列式
例0.2的证明： 左端 =
=
+ 0 + 0 +
=
+ 0 + 0 +
= 2
= 右端
■
例0.3：试证 = 证明：把左端行列式按第一行展开即得. ■
注：由上面的例0.3可知，在计算3阶行列式时，我们可以利用初等行 变换和行列式的性质，把某一行 (或列) 的3个元素中的2个变成0， 然后再按此行 (或列) 展开就化成计算一个2阶行列式了.
线性代数——先修课 第二章 行列式
§2.1 二阶、三阶行列式的性质
内容提要
二阶行列式的性质 三阶行列式的展开式与性质 利用性质计算行列式
二阶行列式的性质
性质1 行列互换，二阶行列式的值不变，即 = 证明： 由行列式的定义，等式两边都等于 .
注：1、性质1说明二阶行列式中，行与列地位相同，即二阶行列 式对行成立的结论，对列也同样成立. 2、行列互换，对应到每个元素就是交换两个下标的表示，即 第一下标表示列数，而第二下标表示行数. Nhomakorabea■
2、由性质3可知，若二阶行列式的性质对某一行成立，则对 另一行也成立（最多相差一个符号），例如，对性质2， 我们是对第一行证明的加法拆分，从而对该性质对第二 行也成立.
性质4 二阶行列式中某行(列)有公因子 时， 可以提出公因式外， 即 = 证明： = ( = ( ) ) = -( )
■
性质5 二阶行列式中某一行(列)加上另一行(列)的 倍时，其值 不变， 即 =
类似的，我们可以证明下面的性质： 性质 ：若 3 阶行列式某行 (列) 各个元素分成两个数的和，则该行 列式可关于该行 (列) 拆开成两个行列式之和，拆开时其他行 (列) 均 保持不变. 性质 ：行列式的某一行 (列) 的公因式 可以提到行列式的外面. 特 别的，若行列式有一行 (列) 为零，则行列式的值为0. 性质 ：把一行 (列) 的倍数加到另一行 (列) 上，行列式的值不变.
证明： = = =
=(
)
(
)
■
三阶行列式的展开公式
下面考察 3 阶行列式，由定义可得
= = ( )
(
)
(
)
=
在上述 3 阶行列式中，划去第 行第 列后所剩下的 2 阶行列式称 ，则 为元素 的余子式，记为
再令：
称之为元素
的代数余子式，例如
因此，利用上面的符号，我们可以把刚才的关系式重新表示如下：