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数理逻辑与集合论试卷

2006年的考题
一、A={a,b,c},B={X|a∈X且X⊆A},求B-A, B-{A}, ∪B, ∩B。

二、A={1,2,3,5,9},R是A上的关系且R={<x,y>|3x≤y},求R-1, R2, r(R), t(R)。

三、R和S是集合A上的等价关系,A/R={{1,2},{3,4},{5}},A/S={{1},{2,3,4,5}},
求①(A/R)∩(A/S) ②∪(A/R) ③R∩S ④A/(R∩S)。

四、用谓词逻辑公式表示下列命题:
任何两个不同的有理数之间必有另一个有理数。

五、设R是A上的关系,证明:R是拟反对称的(即R[imasym])当且仅当R
既是反自反的(即R[irref])又是反对称的(即R[asym])。

六、请分别判断以下结论是否一定成立,如果一定成立请证明,否则请举出反
例。

①A⊕C=B⊕C当且仅当A=B。

②如果A×B=A×C且A≠∅,则B=C。

七、R是非空集合A上的关系且满足自反性(即R[ref])和传递性(即R[tra]),
S是A上的关系且S={<x,y>|存在A中元素x和y使得<x,y>∈R且<y,x>∈R}, 证明:S是A上的等价关系。

八、<A,≤>是偏序,如果D⊆A,且满足以下条件:
∀x∀y((x∈D & y∈D)⇒∃z(z∈D & x≤z & y≤z)),则称D是有向集。

①证明:如果D是有限的有向集,则D有最大元。

②举例说明如果D是无限的有向集,则D中不一定有最大元。

2005年的考题
一、A={2,3,4},R是A上的关系,R={<x,y>|x+y=6},
①R是否具有自反性?是否具有传递性?说明理由。

②求R-1,R2,ts(R)。

二、A={a,b,c,d,e,f},R={<a,c>,<b,c>,<a,d>,<b,d>,<c,e>,<e,f>,<d,e>}, R’=tr(R),画
出<A,R’>的哈斯图,求{c,d,e}的最大元、极小元、上界、下界和最大下界。

三、A={a,∅},B=∅∪{∅},求A⊕B,P(A-B),A×A。

四、用谓词逻辑公式表示下列命题:
1) 存在最小的自然数。

2) 每个自然数都有唯一的后继。

五、R⊆A×A,证明:R是反对称的当且仅当R∩R-1⊆I A。

六、R是A上的等价关系,证明:A/R是A上的划分。

七、R是实数集,f:RXR→RXR,f(<x,y>)=<x+y,x-y>,请问f是否为单射?是
否为满射?证明或举反例。

八、R⊆AXA,证明:s(R)=∩{R’|R⊆R’且R’是A上的对称关系}。

九、已知B∩C=∅,证明:P(B∪C)与P(B)XP(C)等势。

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