《离散数学》单元测试（数理逻辑部分）
一、填空题
1. 命题公式)(r q p G →⌝→=，则G 共有 个不同的解释，使公式G 为假的解释是 和 ，把G 在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G 的 ，并可以通过它判定该公式的类型是 。

2. 在谓词逻辑中将下面命题符号化：
a) 在北京工作的人未必都是北京人。

（设F （x ）：x 在北京工作，G （x ）：x 是北京人） 。

b) 没有不犯错的人。

（设F （x ）：x 是人，G （x ）：x 犯错误） 。

3. 将公式化成与之等值的前束范式，
=→∃→⌝∃∃)))()((),((x R z zQ y x yP x 。

4. 设谓词的定义域为},,{c b a ，将表达式))()((y yS x R x ∃∧∀中的量词消除，写成与之等值的命题公式
是 。

二、单项选择题
1. 一个公式在等值的意义下，下面哪个写法是唯一的（ ）。

A ．析取范式
B ．合取范式
C ．主析取范式
D ．以上答案都不对
2. 设命题公式P Q P G →∧=)(，则G 是（ ）。

A. 永假式
B. 永真式
C. 可满足式
D. 析取范式
3. 设命题公式)(),(P Q P H Q P G ⌝→→=→⌝=，则G 与H 的关系是（ ）。

以上都不是。

.;.;.;.D H G C G H B H G A ⇔⇒⇒
4. 已知命题))((R Q P G ∧→⌝=，则所有使G 取真值1的解释是（ ）。

A. （0，0，0），（0，0，1），（1，0，0）
B. （1，0，0），（1，0，1），（1，1，0）
C. （0，1，0），（1，0，1），（0，0，1）
D. （0，0，1），（1，0，1），（1，1，1）
5. 设I 是如下一个解释，0
101),(),(),()
,(},,{b b P a b P b a P a a P b a D =， 则在解释I 下取真值为1的公式是（ ）。

),(.);,(.);,(.);,(.y x yP x D x x xP C y x yP x B y x yP x A ∃∀∀∀∀∀∃
6. 下面给出的一阶逻辑等值式中，（ ）是错的。

.(()())()();
.(()())()();
.()(());
.()(()).
A x A x
B x xA x xB x B x A x B x xA x xB x
C xA x x A x
D A xB x x A B x ∃∨⇔∃∨∃∀∨⇔∀∨∀⌝∀⇔∃⌝→∀⇔∀→ 三、判断题
1. 判断下列陈述是否是命题？
a) 3是无理数。

b) 什么时候开会呀？
c) 2310x +≤。

d) 苹果树和梨树都是落叶乔木。

e) 吃一堑，长一智。

f) 李辛与李末是兄弟。

2. 设A 与B 均为含n 个命题变项的公式，判断下列命题的真值。

a) A ⇔B 当且仅当 A B 是可满足式。

b) 若A 为重言式，则A 的主析取范式中含有2n 个不同的极小项。

c) A 为矛盾式，当且仅当A 的主合取范式中含有2n 个不同的极大项。

d) 任何公式A 都能等值地化为联结词集{∧、∨} 中的公式。

3. 任何一阶逻辑公式都存在唯一与之等值的前束范式。

三、计算题
1. 求命题公式s r q p ∧→∨))((的主析取范式与主合取范式，并判断公式的类型。

2. 用真值表判断公式（p →q ）∧（q →r ））→（p →r ）的类型。

3. 设解释I 为：
定义域D ={－2，3，6}；
F （x ）：x ≤3；
G （x ）：x >5。

在解释I 下求公式∃x （F （x ）∨G （x ））的真值。

4. 设I 是如下一个解释：
1
)3,3(1)2,3(1)3,2(1)2,2(1)3(0)2(2)3(3)2(2},3,2{G G G G F F f f a D =，试求下列公式在I 下的真值：
))).
(,())((()2));,()(()1x f x G x f F x a x G x F x ∧∃∧∀ 四、证明题
1. 利用等值演算法证明命题公式（（p →q ）∧（q →r ））→（q →r ）为永真式。

2. 构造下列推理的证明
a) 前提集合：{p →q ， r →s ，p ∨r } 结论：q ∨s 。

b) 前提集合：{},,,{r s t s r p q p →⌝→⌝→∨} 结论：q t →⌝.
3. 利用一阶逻辑的基本等价式，证明：∀x ∀y （F （x ）→G （y ））⇔∃x F （x ）→∀yG
（y ）
4. 在命题逻辑中构造下列推理的证明：
如果今天是星期六，我们就到颐和园或圆明园去玩；
如果颐和园游人太多，我们就不去颐和园玩；
今天是星期六，并且颐和园游人太多。

所以我们去圆明园玩
（提示：令 p ：今天是星期六， q ：我们到颐和园去玩， r ：我们到圆明园去玩，s ：颐和园游人太多。

）
5. 在一阶逻辑中构造下列推理的证明：
凡人都要呼吸。

张三是人。

所以张三要呼吸。