⎧ ⎞⎤ ⎫ ⎪ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ ⎪ ⎞⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ − y ⎟ ⎥ + ⎢ x⎜ x⎜ + x⎟ ⎥ ⎬dxdy ⎢ ∫∫R τ zx dxdy = αG ∫∫R ⎨ ⎜ ⎟ ⎪ ⎠⎦ ∂y ⎣ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎪ ⎩ ∂x ⎣ ⎝ ∂x ⎭
斯托克斯公式
⎛ ∂A ∂B ⎞ ∫c( Al + Bm)ds = ∫∫R ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟dxdy ⎝ ⎠
S R
因 所以 显然
Φ( x, y ) = 0 （在横截面周界S上）
M = 2αG ∫∫ Φdxdy
R
D = 2∫∫ Φdxdy
R
如图，如果横截 面组成的区域为多连 通的，则可设应力函 数 Φ ( x, y ) = 0 在S0上 的值为零，而在内边 界S1，S2，S3，Sn上的 值分别为k1,k2,k3,kn, 则有
⎛ ∂v ∂u ⎞ τ xy = G⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = G⎜ ⎜ ∂y + x ⎟ ⎟ ⎜ ∂z + ∂y ⎟ ⎟ = αG⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂w ∂x ⎞ − y⎟ + ⎟ = αG⎜ τ zx = G⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠
Si Si
Ai
dxdy = −2 Ai
Ai 表示内边届 Si 所围成的区域面积。于是得到
M = 2αG ∫∫ Φdxdy + 2αG ∑ ki Ai
R i =1
n
D = 2 ∫∫ Φdxdy + 2∑ ki Ai
R i =1
n
Φ ( x,y ) = k （在横截面边界上）下求解方程 ∇ 2Φ = −2 求得了应力函数 Φ ( x,y ) ，再求应力分量以及D，从而确定杆
两个概念完全不同的问题，如果数学表达式相 比 同，可借助比较直观的简单问题讨论复杂的抽象的问题。 拟： 薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函 数在数学上是相似的，故可用比拟方法求扭转问题的解 答。 1）薄膜均匀张在水平边界上。 2）边界形状与扭杆横截面相同。 3）给薄膜施加均匀压力。 薄膜上的点产生垂度 q 薄膜具有柔顺性
可见，在杆内横截面内只作用有切应力 τzx 和 τzy ，而且它 们与 z 无关，即它们在所有的横截面上都相等。
下面考虑边界条件
f sj = σ ij ni
M
¾柱形杆的侧面的边界条件
n = 0 , f sx = f sy = f sz = 0
⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ − y ⎟l + ⎜ + x⎟ m=0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
o FT z o a FT y d FT dx FT b c
q FT x 边 FT dy ad bc ab cd
x 矩形微元 abcd 的受力如图， 则 z方向所受总压力为 qdxdy 张力 FTdy FTdy FTdx FTdx 在z轴投影
∂z − FT dy ⋅ ∂x
⎛ ∂z ∂ 2 z ⎞ FT dy ⋅ ⎜ ⎜ ∂x + ∂x 2 dx ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
M = − αG ∫
S1,S 2 ,L,S n n
Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
R R
= −αG ∑ ∫ ki ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
i =1 Si
由斯托克斯公式计算得
∫ (xl + ym)ds = − ∫ (xl + ym)ds = −2∫∫
GD 称为抗扭刚度，D 表示截面几何特性，上式给出了柱单位 长度的扭转角与扭矩之间的关系。对于给定的柱形杆，G 和D 都是已知的，故只要知道了扭矩就可求出单位长度的扭转角， 反之，亦然。
柱形杆扭转的位移解法，归结为在给定的边界条件下， 求解拉普拉斯方程，求得了扭转函数后，再求应力分量和位移 分量。柱形杆扭转的位移解法在数学上属于 Neumann边值问 题，求解比较复杂。
条件 的单位长度的扭转角。
综上所述，如果采用应力解法求解扭转问题，则先在边界
§8-3 扭转问题的薄膜比拟法
对于截面形状比较复杂的柱体，不管采用位移法还是应力 法求解扭转问题解析解是很困难的，而普朗特（Prondtl）在 1903年提出了薄膜比拟，它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等 截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相似性，用薄膜来 比拟扭杆，它可以帮助我们寻找扭转问题的解答,尤其是对截面 较复杂的扭转可以避开数学上的困难，而采用实际薄膜比拟实 验测定，形象的获得一些有价值的解。 薄膜比拟基本思想： 作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边 界条件；通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的 应力分布。
∂Φ τ yz = −αG ∂x
为使平衡微分方程得到满足，引入函数Φ(x,y)，使得
∂Φ τ xz = αG , ∂y
将上式代入协调方程，交换求导次序，有
∂ 2 ∇ Φ = 0, ∂x
∂ 2 ∇ Φ=0 ∂y
（其中 C 为常数，可以证明 C = -2）
∇ 2Φ = C
即
∇ 2Φ = −2
这是泊松方程，它表示函数Φ(x,y)在柱形杆横截面所组成的区 域 R 内所必须满足的方程。函数Φ(x,y)称为普朗特应力函数。 现在推导Φ(x,y) 在区域 R 的周界 S 上所需满足的边界条件
由位移分量可得
⎧ ∂u ∂v ∂w θ = + + =0 ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ 2 2 u 0 , v=0 ∇ = ∇ ⎨ ⎪ 2 2 ⎛ ϕ ϕ⎞ ∂ ∂ 2 ⎪∇ w = α ⎜ + 2⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎪ x y ∂ ∂ ⎠ ⎝ ⎩
⎧ ∂θ 2 ( ) + + ∇ G G u + Fbx = 0 λ ⎪ ∂x ⎪ ∂θ ⎪ 2 ( ) + + ∇ G G v + Fby = 0 λ ⎨ ∂y ⎪ ⎪ ∂θ 2 ( ) + + ∇ G G w + Fbz = 0 λ ⎪ ∂z ⎩
§8-2 扭转问题的应力解法·普朗特应力函数
以应力为基本未知量，设
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
于是平衡微分方程和以应力表示的应变协调方程分别简化为
∂τ zx = 0, ∂z ∇ 2τ xz = 0,
∂τ zy ∂z
= 0,
∂τ xz ∂τ yz + =0 ∂x ∂y
∇ 2τ yz = 0
dΦ ∂Φ dx ∂Φ dy = + =0 ds ∂x ds ∂y ds
积分得
Φ = k （在横截面周界S上）
这里 k 为常数。对于单连通区域，可取 k = 0。 于是 上）Φ(x,y) 表示的扭矩 M 和 D 的计算。 下面推导用应力函数 先假定横截面组成的区域Ｒ为单连通的。将以下应力分量
Φ( x, y ) = 0 （在横截面周界S
∂Φ τ xz = αG , ∂y
∂Φ τ yz = −αG ∂x
代入 M =
∫∫ (xτ
R
zy
− yτ zx )dxdy 并利用斯托克斯公式，有
⎛ ∂Φ ∂Φ ⎞ ⎟ +y M = −αG ∫∫ ⎜ x dxdy ⎜ ⎟ R ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎡∂ ⎤ ∂ = −αG ∫∫ ⎢ ( xΦ ) + ( yΦ )⎥dxdy + 2αG ∫∫ Φdxdy R ∂x R ∂y ⎣ ⎦ = −αG ∫ Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
第八章 柱形杆的扭转
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数 §8-2 扭转问题的应力解法·普朗特应力函数 §8-3 扭转问题的薄膜比拟法 §8-4 椭圆截面杆的扭转 §8-5 带半圆形槽的圆轴的扭转 §8-6 厚壁圆筒的扭转 §8-7 三角形截面杆的扭转 §8-8 矩形截面杆的扭转 §8-9 薄壁杆的扭转
因
n M O
∂ϕ ∂ϕ dϕ l+ m= ∂x ∂y dn
dϕ = yl − xm dn
在横截面的边界S上
¾柱形杆的端面的边界条件
在端面处，应用局部性原理，有
M
⎧ τ zx dxdy = 0 ⎪∫∫R ⎪ ⎨∫∫R τ zy dxdy = 0 ⎪ ⎪∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy = M ⎩ R
设有横截面为任意形状的柱形杆，不计体力，在两端面 上受大小相等而转向相反的扭矩M 作用，如图所示。坐标建 立如图。 在前面章节，已经求出了圆柱形 杆扭转时的位移分量为 M
u = −αyz, v = αxz, w = 0
上面第三式表示，在圆柱体情 况下，变形前的横截面在扭转 变形后仍保持为平面；但对于 n O
⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∫∫R τ zx dxdy = αG ∫S x⎜ ⎜ ∂x l + ∂y m − yl + xm ⎟ ⎟ds ⎝ ⎠ ⎛ dϕ ⎞ = αG ∫ x⎜ − yl + xm ⎟ds = 0 S ⎝ dn ⎠
同理
∫∫ τ
R
zy
dxdy = 0
由端面处边界条件的第三式及应力分量可得
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
非圆截面杆，扭转变形后，横 截面将产生翘曲，不再保持为 平面。所以假设z, w = αϕ ( x, y )
这里的 α 为杆的单位长度的扭转角，ϕ 扭转函数，反映了截面翘曲情况。 下面分析 ϕ 拉梅方程
(x, y ) 称为圣维南
(x, y ) 所应满足的条件，为此将位移分量代入
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数
需要完全精确地求解柱形杆的扭转问题是十分困难的。 因为，一方面，在实际问题中，柱形杆两端面上外力分布情 况往往是不清楚的，而只知道它 们的静力效应；另外，即使知道 M 了外力在端面上的分布情况，也 很难得到一组解答能精确地满足 端面上的精确条件。但是，如果 杆足够长，就能够按局部性原理 对其端面处的边界条件进行放松， n 而使问题得到解决。 O 本章仍然采用半逆解法求解 M 柱形杆的扭转问题。