设C 为复数， a 、b 为实数。 复数C a jb , a 为实部，b 为虚部 根据欧拉公式，可以有下列表示形式： 复数C | C | e j ，其中| C | a2 b2 为复数的模， tg b / a ， 为复数的辐角， 验证：| C | cos() a2 b2 cos[arctg(b / a)] a
kC ka jkb
| kC| e j k 0
பைடு நூலகம்
kC

|
kC
|
e
j(
)
k 0
共轭：
C* a jb
C* C e j
虚轴 j
C
kC
实轴
虚轴 j
C
实轴
C*
做复数的数乘运算时，复数的实部和虚部均要与乘数 相乘并作为新复数的实部和虚部。
换一种说法，做复数的数乘运算时，复数的模要与乘 数的绝对值相乘，作为新复数的模，而辐角的值要依 据乘数的符号确定，如乘数为非负实数，则辐角不变， 否则辐角要偏移180度。
第二章 信号的复数表示
2.1 欧拉公式
欧拉公式
欧拉公式，定义：
ejwt coswt j sinwt e jwt cos(wt) j sin(wt) coswt j sinwt (e jwt )*
注： X * 表示 X 的共轭
2.2 信号的复数表示
1、复数形式
做复数的共轭运算时，复数的实部不变而虚部取负。
换一种说法，做复数的共轭运算时，复数的模不变， 而辐角取负。
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数，C1 a1 jb1 ，C2 a2 jb2 C1 | C1 | e j1 ，C2 | C2 | e j2 复数加法： C C1 C2 (a1 a2) j(b1 b2) 复数乘法： D C1 C2 a1a2 ja1b2 jb1a2 j2b1b2 ， 复数中定义 j2 1 ，故 D (a1a2 b1b2) j(a1b2 b1a2)
两复数相乘等于两复数的模相乘，作为新复数 的模，两复数的辐角相加作为新复数的辐角。
3、举例
C1 1 j 3 ，C2 1 j
所以又有： C1

j
2e 3
，C2

j
2e 4
C1 C 2 (1 1) j( 3 1) 2 j( 3 1)
j
j
2C1 2 j(2 3) 2 2e 3 4e 3
C1 C 2 1 j 3 j 3 3 (1 3 ) j(2 3 )
j( )
j( 7 )
2 2e 3 4 2 2e 12
| C | sin() a2 b2 sin[arctg(b / a)] b
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴
b
复数C可表示成一个矢量
|C| a
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
换一种形式表示复数的乘法
D C1 C2 C1 e j1 C2 e j2 C1 C2 e e j1 j2 C1 C2 e j(12)
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
虚轴 j
复数乘法 C1C2 虚轴 j
C1 C2
C1+C2
实轴
C1 C2
实轴
两复数相加等于两复数的实部和虚部分别相加 并作为新复数的实部和虚部。