概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= ____________ ；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数样本空间是：S= _______________________；2.(1)丢一颗骰子.A:出现奇数点，则A_______ ; B: 数点大于2,贝U B=(2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，贝y A=______________ ；B:两次出现同一面，贝I」= ________ ; C : 至少有一次出现正面，则C= .§ 1 .2随机事件的运算1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：_____ 」(3)A与B都不发生，而C发生表示为： ___ J4)A 、B、C中最多二个发生表示为：.(5)A、B、C中至少二个发生表示为： _______ * (6)A. B. C中不多于一个发生表示为： _______ •贝［|2* T§iS^{xiO<x<5},A = {x:\<x<3}./i = {x:2<<4}Z(1 ) A<JB=_________________________ ，( 2 ) AB = ______________ , (3) AB = ____ ___________________ 9(4 ) A'UB -J ( 5 )§13概率的定义和性质L已知P(A u/?) = 0.8, P(A) = 0.5, P{B)= 0.6 ,贝!|(1) P{AB)^ _______________________________________________________ ,(2)( P(AB) )= ______________________________________________ ,(3)P(A\j'B)~______________________ .2. 已知P(A) = 0.7y P(AB) = 0\贝!|P{AB) — ______________________ *§U4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求：(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率，(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§K5条件概率与乘法公1.丢甲、乙两颗均匀的骰7,则其中一颗为1的概率是_____________ 。

2. 已知P(A) 1/4, P(B|A) 1/3, P(A|B) 1/2, 贝卩P(A B) _____________________ 。

§ 1 .6全概率公式1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

§ 1 .7贝叶斯公式1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求(1) 该厂产品能出厂的概率，(2)任取一出厂产品, 求未经调试的概率。

2.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A,冋原发信息是A的概率是多少？§ 1 .8随机事件的独立性1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。

设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R为通路(用T表示)的概率。

A_BLRC D3.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率：(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。

第1章作业答案§ 1 .1 1 : ( 1 ) S {HHH , HHT , HTH ,THH , HTT,THT,TTH ,TTT}；(2) S {0, 1, 2, 3}2： ( 1) A {1, 3, 5} B {3, 4, 5, 6}； (2) A ｛正正，正反｝, B ｛正正，反反｝, C ｛正正， 正反, 反正｝。

§ 1 .2 1 :(1) ABC ； (2) ABC ； (3)ABC ；⑷AB C ； (5) AB AC BC ； (6)AB AC BC 或 ABC ABC ABC ABC ； 2: (1)A B {x: 1 x 4}； (2) AB {x:2 x 3}；(3) A B { x:3 x 4}；(4)A B {x: 0 x 1或2 x 5} ； ( 5) AB {x:1 x 4}。

§ 1 .3 1 :(1) P(AB)=0.3, (2) P(A B)： =0.2, (3) P(A B) =0.7. 2 : P (AB ))=0.4.§ 1 .41 (1)2 8 10 C 8 C 22 /C 30 ,(2)((C 12 c 8c 22 C 82C 22)/C 30 ,(3)1-(c ；0 c 8c 22)/c 30.2:P//43. § 1 .5 1:. 2/6； 2: 1/4。

§ 1 .61:设A 表示第一人“中”则P(A) = 2/10设B 表示第二人“中” ,则 P(B)=P(A)P(B|A) + P( A)P(B| A)2 18 2 210 9 10 5 10两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。

2: 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5 ,所求概率为:§ 1 .7 1:§1 .8.1 :p = 0.5 X 0.4 + 0.5 X 0.5 = 0.45 (1)94% (2)70/94; 2: 0.993;用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=AB U CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD)= P(A)P(B) + P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D)2 2 4 ^2 4P P P 2p p2 : (1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38 ;(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布§ 2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1一盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码.，试写出X的分布律.2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，—次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数，试写出X的分布律。

§ 2.2 0 1分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量X有分布律：.X—2—3_ __________ 丫〜n (X),试求：p 0.4 0.6(1)P(X=2,Y < 2); (2)P(Y < 2); (3)已知Y< 2,求X=2的概率。

§ 2.3 贝努里分布1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3 台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？§2.4 随机变量的分布函数0 x 11设随机变量X 的分布函数是：F(x) = 0.5 1 x 11 x 1(1)求P(X < 0 ); P o X 1 ；p(x > 1), (2) 写出X 的分布律。

求(1)常数A,⑵P l X 2.§ 2.5 连续型随机变量1设连续型随机变量X 的密度函数为：kx 0 x 1 f(x) 0其他(1)求常数k 的值；(2)求X 的分布函数F(x)，画出F(x)的图形，(3) 用二种方法计算 P(- 0.5<X<0.5).2设连续型随机变量x 0的分布函数为：F(x)=0 x 1 In x 1 x e 1 x e(1)求X 的密度函数f(x)，画出f(x)的图形，(2) 并用二种方法计算P(X>0.5).§2.6 均匀分布和指数分布1 设随机变量 K 在区间 （0, 5） 上服从均匀分布求方程 4x 2+ 4Kx + K + 2 = 0 有实根的概率。

2设随机变量X 的分布函数是：F(x)=Ax2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10 分钟的概率；（2）10 分钟到20 分钟的概率。

§ 2.7 正态分布1随机变量X〜N (3, 4),⑴ 求P(2<X < 5)P(- 4<X < 10), P(|X|>2), P(X>3);(2)确定c,使得P(X>c) = P(X<c)。

2某产品的质量指标X服从正态分布，卩=160, 若要求P（120<X<200）> 0.80,试问"最多取多大？§ 2.8 随机变量函数的分布1设随机变量X的分布律为：X 0 1 2p 0.30.4 0.3Y = 2X -1,求随机变量X的分布律。

2设随机变量X的密度函数为: f(x) 2(1 x) 0 x 1 Y X2；求随机变量Y的密度函数3.设随机变量X服从（0，1）上的均匀分布，Y 2lnX，求随机变量Y的密度函数。

第2章作业答案§ 2.1 1：X 3 4 5p 0.1 0.3 0.62：X 1 2 3 4 5p 0.4 0.6 为.4 0.6 J0.6 J0.4 0.6 为.68.6E .4 0.6 为.6 8.6 为.6X§ 2.2 1: (1) P(X = 1) = P(X > 1) -P(X > 2) = 0.981684 -0.908422 = 0.073262,⑵ P(X > 1) = 0.981684,(3) P(X < 1) = 1 - P(X > 2) = 1 -0.908422 = 0.091578 2：(1)由乘法公式：P(X=2,Y < 2) = P(X=2) P(Y < 2 |X=2)= 0.4 $22e 22e 2)= 2e 2(2)由全概率公式：P(Y < 2) = P(X=2)P(Y < 2 | X=2) + P(X=3) P(Y < 2 | X=3)=0.4 5 e 2+0.6 琴e 3= 0.27067 + 0.25391 = 0.524582(3 )由贝叶斯公式：P(X=2|Y <§ 2.3 1 :设X 表示在同一时刻被使用的台数，贝VX 〜B(5,0.6),(1) P( X = 2 ) = C ；0.620.43(2) P(X > 3 )=Cs 0.630.42 Cs0.640.40.65(3) P(X < 3 ) = 1 - C：0.640.4 0.65(4)P(X> 1 ) = 1 - 0.452：至少必须进行11次独立射击.§2.4 1：(1) P(X <0 )=0.5; P 0 X 1 = 0.5; P(X> 1) = 0.5,(2) X 的分布律为： X -11P(X 2,Y2) P(Y 2)0.270670.524580.5160.50.52： (1) A = 1,⑵ P 1 X 2=1/6x 0§ 2.5 1 :（1） k 2， （2） F(x)2x 0 x 1 ；1 x 1（ 3 )P(-0.5<X<0.5)=0.5 0」（如0dx0.51 0.5 12xdx4；或=F(0,5)-F(-0.5)1 4 0 - o42 1/x :(1) f(x) o1 x e其他(2) P(X2) 1 ln2§ 2.61 :3/5 2 :(1)e 224(2) e e§ 2.7 1：⑴ 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5; (2) c第3章多维随机变量§ 3.1 二维离散型随机变量1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球,从中随机地取3个，用X 表示取到的红球个数,=3,2:a< 31.25。