苏州科技学院《概率论与数理统计》活页练习册习题解答信息与计算科学系概率论与数理统计教材编写组2013年12月习题1-1 样本空间与随机事件1．选择题（1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）ABAC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C（2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ）A {}123T T T t ++>B {}123TT T t >C {}{}123min ,,T T T t >D {}{}123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。

解：{} ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。

3．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示下列各事件：（1）只有一个是次品；（2习题1-2 随机事件的概率及计算1．填空题（1）已知B A ⊂，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则)(A P )(AB P=)(B A P 0 ，)(B A P（2）设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，则()P AB ()P A B 0.62．选择题（1）如果()0P AB =，则（ C ）(A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 互不相容(C) ()()P A B P A -= (D) ()()()P A B P A P B -=- (2) 两个事件A 与B 是对立事件的充要条件是（ C ）（A ） )()()(B P A P AB P = （B ）1)(0)(==B A P AB P 且 （C ） Ω=∅=B A AB 且 （D ）∅=AB 3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。

4．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解：（1）设A =“他们的生日都不相同”，则365()365rrP P A =； （2）设B =“至少有两个人的生日在同一个月”，则212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++==； 或 412441()1()11296P P B P B =-=-=.习题1-3 条件概率1．选择题：（1）设A ，B 为两个相互对立事件，且0)(>A P ，0)(>B P ，则( C )。

（A ）0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = （C ）0)(=B A P （D ）)()()(B P A P AB P = （2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的成品率为（ Ｃ ）（A ） 1p q -- （B ）1pq - （C ）1p q pq --+ （D ）(1)(1)p q -+- 2．填空题:(1) 已知,6.0)(,5.0)(==B A P A P 若B A 、互不相容，则)(B P B A 、相互独立，则)(B P (2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，该射手的命中率___23p =__。

3．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A 与B ，每种报警系统都使用时，对系统A 其有效的概率是0.92，对系统B 其有效的概率为0.93，在A 失效的条件下，B 有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B 失灵的条件下，A 有效的概率。

解：设=A “报警系统A 有效”，=B “报警系统B 有效” （2）因为：862.0988.093.092.0)()()()(=-+=-+=B AP B P A P AB P4．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β.解 设A =“顾客买下该箱”，B =“箱中恰有i 件残次品”，0,1,2i =， （1）001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P BP A B P B P A B α==++5．据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%．如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？解 设A =“50岁男性患有结肠癌”，B =“大便隐血检查呈隐血” 由题意，003.0)(=A P ，997.0)(=A P ，50.0)(=A B P ，03.0)(=A B P由贝叶斯公式（1.3.5），047755.003.0997.05.0003.05.0003.0)()()()()()()()()(=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P习题2-1 随机变量及其分布函数1．判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（ ）10,0,()sin ,0,21,.2x F x x x x ππ⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩20,0,()ln(1),0.1x F x x x x <⎧⎪=⎨+≥⎪+⎩解：1()F x 是；2()F x 不是，因为2()01F +∞=≠..习题2-2 离散型随机变量1． 填空题(1) 设随机变量X 的分布律为:{},Nak X P == N k ， ,2,1=，试确定___1______a =。

(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X 表示任意取出的产品中的次品数，则X(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p ，以X表示射击的次数，则X 的分布律为2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数()F x .3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为X ，则()3.0~P X 。

（1）（2）4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。

解：设中奖的彩票数为X ，则(2000,0.001)XB .（1）2000(1)1(0)1(0.999)0.8648P X P X ≥=-==-≈.（2）由于20000.0012⨯=，故(3)1(0)(1)(2)P X P X P X P X ≥=-=-=-=习题2-3连续型随机变量1. 设连续型随机变量X 的密度函数为2,01,()2,12,0,ax x f x x x ⎧≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.试求：（1）常数a 的值；（2）随机变量X 的分布函数；（3）13()22P X <<。

（2）当0x <时，()0F x =；当2x >时，()1Fx =. 故，2. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(x x e A x F x ，，,试求：（1）系数A ；（2）X 的密度函数；（3）(13)P X <<。

解：（1）由1)(=+∞F 知，Ae A x F x x x =-==-+∞→+∞→)1(lim )(lim 1。

（2）⎩⎨⎧≤>='=-.0,0;0,)()(x x e x F x f x （3）()()311311)1()3()31(-----=---=-=<<e e e e F F X P 。

3. 设K 在(0，5)内服从均匀分布, 求方程02442=+++K Kx x 有实根的概率。

解：所求的概率为：4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度210001000()0x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩，，其他，现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？从而所求概率为5. 设连续型随机变量~34X N （，），（1）求{}{}2,52>≤<X P X P ；（2）确定常数C 使{}{}C X P C X P >=≤。

（2习题2-4 二维随机变量及其分布1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。

现从中随机抽取一件，记11,0,X ⎧=⎨⎩若抽到一等品,其他. 210X ⎧=⎨⎩，若抽到二等品,，其他. 试求),(21X X 的联合分布列。

解：2. 完成下列表格3．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：()()()()()12112212801,010.8;100100,110.1;100100,00.1P X X P X P X X P X P X X ================。

()121,10;P X X ===2,01,02(,)0x cxy x y f x y ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩其他，求：（1）常数c ；（2）{1}P X Y +≤；（3）X 和Y 的边缘密度函数。

当10><x x 或时，()0=x f X ；求Y 的边缘密度函数：()()⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ,。

当20><y y 或时，()0=y f Y ；4. 设),(Y X 服从}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布，求：（1）),(Y X 的联合概率密度函数；（2）}{2X Y P <；（3）X 和Y 的边缘密度函数。