习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形22y a x =-，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ ()()22sin cos ds a a d ad ϕϕϕϕ=-+=依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
3.把对坐标的曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；（2）沿抛物线2y x =从点(0,0)到点(1,1)；（3）沿上半圆周222x y x +=从点(0,0)到点(1,1).4.设Γ为曲线x t =，2y t =，3z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分LPdx Qdy Rdz ++⎰化成对弧长的曲线积分。
习题11-3 格林公式及其应用1. 利用曲线积分，求星形线3cos x a t =，3sin y a t =所围成的图形的面积。
2.计算曲线积分222()L ydx xdy x y -+⎰，其中L 为圆周22(1)2x y -+=，L 的方向为逆时针方向。
3. 证明曲线积分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值。
.解：积分与路径无关，取路径()()():1,21,43,4L A B C →→，则有(3,4)2322(1,2)(6)(63)AB BCxy y dx x y xy dy -+-=+⎰⎰⎰()()43221639664236y y dy x dx =-+-=⎰⎰4.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）(24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；（2）()()222cos 22cos L x y y dx y x y dy ⎡⎤++++⎣⎦⎰，其中L 是从()0,0O 沿sin y x =到点(,0)A π的一段弧. 解：原式()()222cos 2cos 2LLx y dx y x y dy y dx =++++⎰⎰取()()22cos ,2cos P x yQ y x y =+=+()22sin P Q y x y y x∂∂=-+=∂∂，所以上述第一个积分与路径无关，取点()0,0O 到点 (,0)A π的直线积分得：()()220cos 2cos cos 0Lx y dx y x y dy xdx π+++==⎰⎰又L 的参数方程为sin ,,y x x x x ==从0变到π，所以()2222sin 1cos 2Ly dx xdx x dx πππ==-=⎰⎰⎰于是，原式()()222cos 2cos 2LLx y dx y x y dy y dx π=++++=⎰⎰5.验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ： （1）22xydx x dy +；（2）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-6.计算224(2)()Lx xy dx x y dy +++⎰，其中L 为由点()0,0O 到点()1,1B 的曲线弧sin2xy π=解2,2P Q P Q x x y x y x∂∂∂∂==⇒=∂∂∂∂ 原积分与路径无关，()1,0A 故原式()()2242OA ABxxy dx x y dy +=+++⎰()11240023115x dx y dy =++=⎰⎰ 习题11-4 对面积的曲面积分1. 计算曲面积分3∑⎰⎰zdS ，其中∑为抛物面222()z xy =-+在xOy 面上方的部分。
3=zdS ∑⎰⎰()22223[2()]14xyD xy x y dxdy -+++⎰⎰()2222003214d d πθρρρρ=-+⎰⎰()()()12222216[914]141432d πρρρ=⨯-+++⎰()()3522222032[61414]165πρρ=+-+ ()()3532111[63131]16510ππ=---=2.计算下列对面积的曲面积分： （1）4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分；（2）()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222xy z a ++=上z h ≥(0)h a <<的部分；3.求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.4.计算()22xy dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面.解 12∑=∑+∑， 221:z x y ∑=+，在1∑上，221x y ds z z dxdy =++，1∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤在2∑上，ds dxdy =，2∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤()()()2222222xyxyD D x y ds x y dxdy x y dxdy ∑∴+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰()212021212d r rdr πθπ+=+⋅⋅=⎰⎰ 习题11-5 对坐标的曲面积分1.计算下列对坐标的曲面积分： （1）22x y zdxdy ∑⎰⎰，其中∑为球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.（2）[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy∑+++++⎰⎰，其中(,,)f x y z 为连续函数，∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧.2.把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分，其中（1）∑是平面32236x y z ++=在第一卦限的部分的上侧；（2）∑是抛物面228()z x y =-+在xOy 面上方的部分的上侧；习题11-6 高斯公式1.利用高斯公式计算曲面积分： （1）222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x a =，y a =，z a =所围成的立体的表面的外侧.（2）xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧；（3）24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，1x =，1y =，1z =所围成的立方体的全表面的外侧；2.计算曲面积分()2I z x dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是曲面()2201z x y z =+≤≤的外侧.解 添加平面()221:11z x y ∑=+≤，取上侧，使1∑+∑构成封闭，应用高斯公式地()2112112132xyrD I dv dxdy d rdr dz ππθπ∑+∑∑Ω=-=+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题11-7 斯托克斯公式1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分： （1）ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222x y z a ++=，0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；（2）23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰，其中Γ为圆周222x y z +=，2z =，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；（3）223ydx xdy z dz Γ+-⎰，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；复习题十一1.计算下列曲线积分： （1）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y ax +=.（2）(2)La y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-上对应t 从0到2π的一段弧.（3）(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为上半圆周222()x a y a -+=，0y ≥ 沿逆时针方向.2.计算下列曲面积分： （1）222dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑是界于平面0z =及z H =之间的圆柱面222x y R +=；（2）222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为锥面22z x y =+ (0)z h ≤≤的外侧.（3）xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为半球面222z R x y =--上侧.3.证明：22xdx ydyx y ++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。