2017年西华大学专升本《高等数学》考试题一、选择题（每小题3分，共15分） 1、函数)(x f 在区间),(b a 连续是定积分⎰badx x f )(存在的（ D ）A 、必要条件B 、充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要 【知识点】定积分存在的充分条件。
解析：（1）若函数)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积。
（2）若函数)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积。
2、='⎰)cos (0txdx dx d （ D ） A 、x sin B 、x cos - C 、x sin - D 、0 【知识点】常数的导数为0。
解析：t xdx t cos )cos (0-='⎰，0)cos ()cos (0='-='⎰x tt xdx dx d 。
3、直线z y x L 543:==与平面51086=++z y x 的位置关系为（ D ） A 、平 行 B 、垂 直 C 、直线在平面上 D 、相交但不垂直【知识点】直线与平面的位置关系。
解析： }51,41,31{=s ，}10,8,6{=n ；因06≠=⋅s n ，即直线与平面不平行； 又n s λ≠，即直线与平面不垂直，故，选择D 。
4、下列对函数11)(++=xx x f 的渐近线说法正确的时（ C ） A 、水平渐近线0=y B 、水平渐近线1=y C 、垂直渐近线0=x D 、垂直渐近线1=x 【知识点】渐近线的概念。
解析：∞=++=→→)11(lim )(lim 0xx x f x x ，即函数有垂直渐近线0=x 。
5、幂级数nn n x n 202∑∞=的收敛半径为（ C ） A 、1 B 、2 C 、2 D 、22【知识点】收敛半径。
解析：12221lim lim2211<=⋅+=+∞→+∞→x x n n u u n n n nn n ，收敛区间)2,2(-，故2=R 。
二、填空题：（每题3分，共15分）1、行列式67202322x x x---展开式中2x 项的系数为 。
【10-】 【知识点】三阶行列式的计算。
解析：221012426720232x x x x x-+=---。
2、若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,20,13sin )(x a x xe x xf ax 在R 上连续，=a 。
【3】 【知识点】连续的定义。
解析：a ae x x e x a axx ax x +=+=-+=→→313cos 3lim 13sin lim 200，即3=a 。
3、已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5420886311104221A ，则A 的秩=)(A R 。
【4】【知识点】矩阵的秩的求法。
解析：→A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5420420011104221→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3200420011104221⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-7000420011104221，4)(=A R 。
4、已知),(y x z z =由方程1533=+xyz z 所确定的隐函数，则=dz 。
【xyz xzdyyzdx ++-2】【知识点】隐函数的全微分。
解析：033332=+++xydz xzdy yzdx dz z ，即xyz xzdyyzdx dz ++-=2。
5、交换二次积分的积分顺序=⎰⎰--24022),(x dy y x f dx 。
【⎰⎰---22442),(y y dx y x f dy 】【知识点】交换积分次序。
解析：化成Y 型区域2244;20:y x y y D -≤≤--≤≤，即，=⎰⎰--24022),(x dy y x f dx ⎰⎰---22442),(y y dx y x f dy 。
三、计算题（每小题5分，共30分） 1、极限x x x 2tan)1(lim 1π-→。
【知识点】洛必达法则。
解析：x x x 2tan)1(lim 1π-→πππππ2122sin 1lim2sin 2cos1lim11=⨯⋅--=-=→→x x xx x x 。
2、极限30sin tan limx xx x -→。
【知识点】等价替换或洛必达法则。
解析：30sin tan lim x x x x -→xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-=→21cos 21lim 320=⋅=→x x x x x 。
3、)sin ('+xe x x 。
【知识点】复合函数求导。
解析：)21sin (cos sin 21)sin (xx xxxex e x e x x e x x e x x ++⋅++⋅+='+⋅。
4、计算积分⎰-xdx e x 2sin 。
【知识点】分部积分法。
解析：⎰⎰⎰----+-=-==xdx e xe xde xdx e I x x x x 2cos 22sin 2sin 2sin=⎰⎰--------=--xdx e xe xe xde xe x x x x x 2sin 42cos 22sin 2cos 22sin即，x xxe xe I ----=2cos 22sin 5，故C x x e I x ++-=-)2cos 22(sin 51。
5、dx x x ⎰+∞∞-++6412。
【知识点】广义积分。
解析：dx x x ⎰+∞∞-++6412=++=⎰+∞∞-dx x 2)2(21)22()22(11222+++=⎰∞+∞-x d xπππ22)22(2222arctan 22=+=+=∞+∞-x 。
6、1633512211-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-。
【知识点】逆矩阵（伴随矩阵法或初等行变换法）。
解析：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100633010512001211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→103060012130001211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→121200012130001211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→1212002102303067223001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→211211006102101067223001， 故，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-3631037129611A 。
四、求解下列各题（每题6分，共30分）1、求曲线x y x y ==,2所围成的图形分别绕y x ,轴所成旋转体的体积。
【知识点】旋转体的体积。
解析：（图略）ππ152)(142=-=⎰dx x x V x ；ππ61)(102=-=⎰dy y y V y 。
2、计算二重积分σd y x D⎰⎰--224，其中y y x D 2:22≤+。
【知识点】极坐标系下的二重积分。
解析：积分区域θπθsin 20;0:≤≤≤≤r D ，πθθθσπθπ38)cos 1(384403sin 202022=-=⋅-=--⎰⎰⎰⎰⎰d rdr r d d y x D。
3、求542-=+''x y y 的通解。
【知识点】二阶非齐次微分方程。
解析：特征方程：012=+r ，i r ±=，齐次通解：x c x c y sin cos 21+=； 设非齐次特解：c bx ax y ++=2*，代入原方程得：134*2-=x y ； 故，原方程的通解为：134sin cos 221-++=x x c x c y 。
4、求级数∑∞=+-11)1(n nn nx 的收敛半径，并在),(R R -上求其和函数。
【知识点】幂级数的收敛半径及和函数。
解析：（1）11lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ；（2）x xn n -=∑∞=-1111（1<x ），两边积分：)1ln(1101x dx x n x x n n --=-=⎰∑∞=， 将x 用x -代替：)1ln()1(1x n x n nn +-=-∑∞=，两边乘1-得： )1ln()1(11x nx n nn +=-∑∞=+，（11≤<-x ）。
5、求曲线积分⎰+++Ldy y x dx y x )()(222，其中L 是区域x y x ≤≤2的正向边界。
【知识点】曲线积分（格林公式）。
解析：x xQ2=∂∂，y x y P 22+=∂∂，由格林公式得： 103)(221412-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx x x ydy dx ydxdy xxDL。
五、证明题（每小题5分，共10分）1、设)(x f 在]2,0[上连续，在)2,0(内可导，且2)2(,0)0(==f f ，证明：在)2,0(内至少存在一点ξ，使)()(ξξξf f ='。
【知识点】罗尔定理。
证明：变形：])([0)()()()(22'-⇒=-'⇒='x x f f f f f ξξξξξξ 令22)()(x x f x F -=，显然()F x 在]2,0[上连续，在)2,0(内可导，0)0()0(2==f F ，04)2()2(2=-=f F 且x x f x f x F 2)()(2)(-'='由罗尔定理，)2,0(∈∃ξ，使()0F ξ'=， 即，02)()(2=-'ξξξf f ，故)()(ξξξf f ='。
2、证明：当0>>b a 时，有bba b a a b a -<<-ln 。
【知识点】拉格朗日中值定理。
证明：令x x f ln )(=，xx f 1)(='，取区间],[a b ，显然()f x 在],[a b 上连续可导， 由拉格朗日中值定理，),(a b ∈∃ξ使))(()()(b a f b f a f -'=-ξ，即ξb a b a -=ln，由于a b <<ξ， 所以，bba b a a b a -<<-ln 。