专题四函数、不等式中的恒成立问题1．(2019年天津)已知a ∈R ，设函数f (x )x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x >1，若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为()A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]2．(2016年河北衡水调研)设过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．(－1,2)C ．[－2,1]D ．(－2,1)3．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．[－5，－3] B.－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]4．设0＜a ≤1，函数f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x －ln x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．5．已知函数f (x )＝ax －ln x ＋x 2.(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若a ＝1，∀x 1∈(1,2)，∃x 2∈(1,2)，使得f (x 1)－x 21＝mx 2－13mx 32(m ≠0)，求实数m 的取值范围．6．设函数f (x )＝x 22－a ln x －12(a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间[1，e](e ＝2.71828…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a的取值范围；(2)若在[1，e](e ＝2.71828…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．7．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ＋1.(1)讨论函数f (x )零点的个数；(2)对任意的x ＞0,f (x )≤x e 2x 恒成立，求实数a 的取值范围．8．已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝4处的切线相互平行，求a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)设g (x )＝x 2－2x ，对任意的x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．专题四函数、不等式中的恒成立问题1．C 解析：当x ≤1时，由f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，对称轴是直线x ＝a ∴当a ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝1>0恒成立；当a <1时，f (x )min ＝f (a )＝2a －a 2≥0，∴0≤a <1.综上，a ≥0，当x >1时，由f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，即a ≤x ln x 恒成立．设g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2.令g ′(x )＝0，得x ＝e ，且当1<x <e 时，g ′(x )<0，当x >e 时，g ′(x )>0，∴当x ＝e 时，g (x )有最小值为e ，∴a ≤e.综上0≤a ≤e ，故选C.2．A 解析：由题意，得∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得(－e 1x －1)(a －2sin x 2)＝－1，即函数y ＝1e 11x +的值域为函数y ＝a －2sin x 2的值域的子集，从而(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，即a －2≤0，a ＋2≥1⇒－1≤a ≤2.故选A.3．C 解析：不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变形为ax 3≥x 2－4x －3.当x ＝0时，0≥－3，故实数a 的取值范围是R ；当x ∈(0,1]时，a ≥x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x ＋1)(x －9)x 4>0成立，故函数f (x )单调递增，f (x )max ＝f (1)＝－6，故a ≥－6；当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3恒成立，记f (x )＝x 2－4x －3x 3，f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x ＋1)(x －9)x 4，当x ∈[－2，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0.故f (x )mi n ＝f (－1)＝－2，故a ≤－2；综上所述，实数a 的取值范围是[－6，－2]．4．[e －2，1]解析：f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a 2x 2，当0＜a ≤1，且x ∈[1，e]时，f ′(x )＞0，∴f (x )在区间[1，e]上是增函数．∴f (x 1)min ＝f (1)＝1＋a 2.又g ′(x )＝1－1x(x ＞0)，易求g ′(x )＞0，∴g (x )在区间[1，e]上是增函数，g (x 2)max ＝g (e)＝e －1.由条件知只需f (x 1)min ≥g (x 2)max .即1＋a 2≥e －1，∴a 2≥e －2.∴a ≥e －2.∴e －2≤a ≤1.5．解：(1)依题意，f (x )＝－x －ln x ＋x 2，则f ′(x )＝－1－1x ＋2x ＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x.∵x ∈(0，＋∞)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.故当x ＝1时，f (x )有极小值，极小值为f (1)＝0，无极大值．(2)当a ＝1时，f (x )＝x －ln x ＋x 2.∵∀x 1∈(1,2)，∃x 2∈(1,2)，使得f (x 1)－x 21＝mx 2－13mx 32(m ≠0)，故ln x 1－x 1＝13mx 32－mx 2.设h (x )＝ln x －x 在(1,2)上的值域为A ，函数g (x )＝13mx 3－mx 在(1,2)上的值域为B ，当x ∈(1,2)时，h ′(x )＝1x －1<0，即函数h (x )在(1,2)上单调递减，故h (x )∈(ln 2－2，－1)．g ′(x )＝mx 2－m ＝m (x ＋1)(x －1)．①当m <0时，g (x )在(1,2)上单调递减，此时g (x )的值域为B ∵A ⊆B ，又－2m 3>0>－1，故2m 3≤ln 2－2，即m ≤32ln 2－3；②当m >0时，g (x )在(1,2)上单调递增，此时g (x )的值域为B －2m 3，∵A ⊆B ，又23m >0>－1，故－2m 3≤ln 2－2，故m ≥－32(ln 2－2)＝3－32ln 2.综上所述，实数m －∞，32ln 2－3∪3－32ln 26．解：(1)f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x，其中x ∈[1，e]．①当a ≤1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增，又∵f (1)＝0，函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意；②当a ≥e 2时，f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，又∵f (1)＝0，∴函数f (x )在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意；③当1<a <e 2时，1≤x <a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，又∵f (1)＝0，∴f (a )<f (1)＝0，∴函数f (x )在区间[1，a ]上有唯一的零点，当a <x ≤e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当f (e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a >e 2－12时，函数f (x )在区间[1，a ]上有唯一的零点；∴a |a ≤1或a >e 2－12(2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－a ln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g (x )＝x ＋1x －a ln x ＋a x 在[1，e]上的最小值小于零．g ′(x )＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝(x ＋1)(x －a －1)x 2，①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g (x )在[1，e]上单调递减，∴g (x )的最小值为g (e)，由g (e)＝e ＋1＋a e －a <0可得a >e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a >e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )的最小值为g (1)，由g (1)＝1＋1＋a <0可得a <－2；③当1<a ＋1<e 时，即0<a <e －1时，可得g (x )的最小值为g (a ＋1)，∵0<ln(a ＋1)<1，∴0<a ln(a ＋1)<a ，g (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1－a ln(a ＋1)＋a a ＋1＝a ＋2－a ln(a ＋1)>2，∴g (1＋a )<0不成立．综上所述，a 的取值范围是(－∞，－2)7．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞令f (x )＝ax ＋ln x ＋1＝0，∴－a ＝ln x ＋1x .设h (x )＝ln x ＋1x，∴h ′(x )＝－ln x x 2，∴h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h max ＝h又∵当x h (x )＜0；当x h (x )＞0，∴当－a ∈(－∞，0)或－a ＝1，即a ≥0或a ＝－1时，f (x )有一个零点；当－a ∈(0,1)，即a ∈(－1,0)时，f (x )有两个零点；当－a ∈(1，＋∞)，即a ∈(－∞，－1)时，f (x )无零点．(2)∵ax ＋ln x ＋1≤x e 2x (x ＞0)，∴a ≤x e 2x －(ln x ＋1)x在(0，＋∞)上恒成立，易证e x ≥x ＋1，∴有x e 2x －(ln x ＋1)x ＝e ln x e 2x －(ln x ＋1)x ＝e 2x ＋ln x －(ln x ＋1)x ≥(2x ＋ln x ＋1)－(ln x ＋1)x＝2，当且仅当2x ＋ln x ＝0时等号成立，∴x e 2x －(ln x ＋1)x min ＝2.∴实数a 的取值范围为(－∞，2]．8．解：(1)f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x x >0)，依题意f ′(1)＝f ′(4)，解得a ＝12.(2)f ′(x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x ＝(ax －1)(x －2)x(x >0)，①当a ≤0时，函数f (x )单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，＋∞)；②当0<a <12时，函数f (x )单调递增区间为(0,2)③当a ＝12时，函数f (x )单调递增区间为(0，＋∞)；④当a >12时，函数f (x )(2，＋∞)(3)依题意有f (x )max <g (x )max ＝0，由(2)知当a ≤12时，函数f (x )在区间(0,2]单调递增，f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2<0，解得a >ln 2－1，∴ln 2－1<a ≤12；当a >12时，函数f (x )(2，＋∞)∴f (x )max ＝2－12a －2ln a <0恒成立，∴a >12.故实数a 的取值范围为a >ln 2－1.。