1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =sin αy =cos α(α∈R ,α为参数).当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,且极轴在x 轴的正半轴上时,曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π4)=2a .(I)试将曲线C 的方程化为普通方程,曲线D 的方程化为直角坐标方程; (II)试确定实数a 的取值范围,使曲线C 与曲线D 有公共点.2.己知实数a ,b ,c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16,求a +b +c 的最大值.3.一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球,每次从中取出一只球,取到白球得2分,取到黑球得3分.甲从暗箱中有放回地取球,乙从暗箱中无放回地取球,若甲、乙各自取出2只球. (I)写出甲总得分ξ的分布列;(II)求甲总得分大于乙总得分的概率.4.己知数集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…,其中第n 个集合有n 个元素,每一个集合都由连续n 个奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数. (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式;(II)求证:设n 是不小于2的正整数,∑==ni iS n f 161)(. 求证:f (n )>n .1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =sin αy =cos α(α∈R ,α为参数).当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,且极轴在x 轴的正半轴上时,曲线D 的极坐标力程为ρsin(θ+π4)=2a .(I)试将曲线C 的方程化为普通方程,曲线D 的方程化为直角坐标方程; (II)试确定实数a 的取值范围,使曲线C 与曲线D 有公共点.(I)x 2+y 2=1;x +y =2a .(II)-22≤a ≤22.2.己知实数a ,b ,c 满足2a 2+3b 2+6c 2=16,求a +b +c 的最大值.16=2a 2+3b 2+6c 2=[(2a)2+(3b)2+(6c)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫122+ ⎝⎛⎭⎫132+ ⎝⎛⎭⎫162≥(a +b +c)2. 等号当且仅当a =2,b =43,c =23时成立,故a +b +c 最大值为4.3.一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球,每次从中取出一只球,取到白球得2分,取到黑球得3分.甲从暗箱中有放回地取球,乙从暗箱中无放回地取球,若甲、乙各自取出2只球. (I)写出甲总得分ξ的分布列;(II)求甲总得分大于乙总得分的概率.(I)甲的分布列为:(II)361254.己知数集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…,其中第n 个集合有n 个元素,每一个集合都由连续n 个奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数. (I)求第n 个集合中各数之和S n 的表达式;(II)求证:设n 是不小于2的正整数,∑==ni iS n f 161)(. 求证:f (n )>n .(I)每个序列第一个数为a n =1+n(n -1),故S n =n 3.1.已知直线l 的参数方程:12x t y t=⎧⎨=+⎩(t 为参数)和圆C 的极坐标方程:)4sin(22πθρ+=.(Ⅰ)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 和圆C 的位置关系.2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立,求实数x 的范围.3.如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的菱形,4ABC π∠=, OA ⊥底面ABCD ,2OA =,M 为OA 的中点.(Ⅰ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小;(Ⅱ)求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.4.点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上,曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +:1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++,(123,n =).由曲线C 和直线n l ,1n t +围成的图形面积记为n S ,已知11x =.(Ⅰ)证明:11n n x x +=+; (Ⅱ)求n S 关于n 的表达式;(Ⅲ)记数列{}n S 的前n 项之和为n T ,求证:11n n n nT xT x ++<(1,2,3,n =).D OM A BC2019届江苏省数学附加试题二1.已知直线l 的参数方程:12x t y t=⎧⎨=+⎩(t 为参数)和圆C 的极坐标方程:)4sin(22πθρ+=.(Ⅰ)将直线l 的参数方程化为普通方程,圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 和圆C的位置关系. .解:(Ⅰ)消去参数t ,得直线l 的普通方程为12+=x y …………………………………3分)4πρθ=+,即)cos (sin 2θθρ+=,两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=,得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-x x ……………………………………………6分(Ⅱ)圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ,所以直线l 和⊙C 相交………10分2.已知函数()12f x x x =-+-. 若不等式()a b a b a f x ≥++-(0,,)a a b R 刮恒成立,求实数x 的范围.解:由()a b a b a f x ≥++-,且0a ≠,得||||()||a b a b f x a ++-≥ ……………………3分又因为||||||2||||a b a b a b a b a a ++-++-=≥,则有2()f x ≥……………………………………6分解不等式122x x -+-≤,得1522x ≤≤……………………………………………………… 10分3.如图,在四棱锥O ABCD -中,底面ABCD 是边长为1的菱形,4ABC π∠=, OA ⊥底面ABCD ,2OA =,M 为OA 的中点.(Ⅰ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小;(Ⅱ)求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.解: 作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立 坐标系,则(0,0,0),(1,0,0),(0,(222A BP D -, (0,0,2),(0,0,1)OM …………………2分(Ⅰ)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵,1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ , ∴AB 与MD 所成角的大小为3π…5分 (Ⅱ)22(0,,2),(,2)222OP OD =-=--∵, ∴设平面OCD 的法向量为1(,,)n xy z =,则110,0n OPn OD ==,即 2022022y zx y z -=⎪⎨⎪-+-=⎪⎩,取z =,解得1(0,n = .…………… 6分DOMAB C121212.22cos ,3n n n nn n <>==……………………………………………………9分 由图形知,平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值为3…………………10分 4.点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上,曲线C 在点n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +:1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++,(123,n =).由曲线C 和直线n l ,1n t +围成的图形面积记为n S ,已知11x =.(Ⅰ)证明:11n n x x +=+; (Ⅱ)求n S 关于n 的表达式;(Ⅲ)记数列{}n S 的前n 项之和为n T ,求证:11n n n nT xT x ++<(1,2,3,n =).(Ⅰ)证明:因为x y e -=,所以xy e -'=-,则切线n l 的斜率n x n k e -=-,所以切线n l 的方程为()nx n n y y ex x --=--,令0y =,得1n Q n x x =+,即11n n x x +=+……………………2分(Ⅱ)解:因为11x =,所以n x n =,所以11111(2)()()|222n nn x xx n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--⋅=--⨯=⎰ ………………5分(Ⅲ)证明:因为12(2)2()(1)22(1)n n n e e T e e e e e e e ------=++⋅⋅⋅+=--, 所以1111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e--++-++---===+---,又1111n n x n x n n ++==+, 故要证11n n n n T x T x ++<,只要证111n e e e n+-<-,即要证1(1)n e e n e +>-+………………………7分下用数学归纳法(或用二项式定理,或利用函数的单调性)等方法来 证明1(1)n e e n e +>-+(略)…………………………………………………………………10分1.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为π)4ρθ=+,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为参数),求直线l 被圆C 所截得的弦长.2.若正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.3.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB =,1AF =.(1) 求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值;(2) 在线段AC 上找一点P ,使PF 与DA 所成的角为60,试确定点P 的位置.4.已知33331111()1234f n n =++++,231()22g n n=-,*n ∈N . (1)当1,2,3n =时,试比较()f n 与()g n 的大小关系; (2)猜想()f n 与()g n 的大小关系,并给出证明.BEAFDC第22题图1.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为π)4ρθ=+,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为41,531,5x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为参数),求直线l 被圆C 所截得的弦长.曲线C的极坐标方程),cos sin 4πρθρθθ=+=-可化为, 化为直角坐标方程为220,x y x y +-+=即22111()()222x y -++= .……………3分直线:l 41,531,5x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(为参数)可化为3410x y ++=,……………………………6分 圆心到直线的距离11341122510d ⨯-⨯+==,………………………………………8分弦长75L ==.……………………………………………………………10分 2.若正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.因为1a b c ++=,a ,b ,c 为正数,由柯西不等式,所以2111()[(32)(32)(32)](111)323232a b c a b c +++++++≥+++++………6分 所以1111323232a b c ++≥+++,……………………………………………………8分 当且仅当323232a b c +=+=+,即a b c ==时“=”成立, 所以当31===c b a 时,原式取最小值1.………………………………………………10分 3.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF(1) 求直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值;(2) 在线段AC 上找一点P ,使PF 与DA (1) 以,,CD CB CE 则()(0,0,1),,E D B ,),AF ,因为,AC BD AF BD ⊥⊥,B所以BD 是平面ACEF 法向量,………2分又因为(2,2,0),(0,2,1)DB DF =-=,所以3cos ,DF DB =,故直线DF 与平面ACEF .…………………5分 (2)设((,,0)0(2,2,1),(0,2,0)P a a a PF a a DA =--=≤,则.因为,60PF DA <>=,所以12a==cos60. 解得2a =,故存在满足条件的点P 为AC 的中点.……………10分 4.已知33331111()1234f n n =++++,231()22g n n=-,*n ∈N . (1)当1,2,3n =时,试比较()f n 与()g n 的大小关系; (2)猜想()f n 与()g n 的大小关系,并给出证明. (1) 当1n =时,(1)1f =,(1)1g =,所以(1)(1)f g =;当2n =时,9(2)8f =,11(2)8g =,所以(2)(2)f g <; 当3n =时,251(3)216f =,312(3)216g =,所以(3)(3)f g <.………3分(2) 由(1),猜想()()f n g n ≤,下面用数学归纳法给出证明: ①当1,2,3n =时,不等式显然成立.②假设当(3)n k k =≥时不等式成立,即33332111131123422k k ++++<-, 那么,当1n k =+时, 3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+<-+++, 因为22332321113131()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k +----=-=<++++,所以231(1)(1)22(1)f kg k k +<-=++. 由①、②可知,对一切*n ∈N ,都有()()f n g n ≤成立.………………10分。