41 •如图，曲线G 的方程为y 22x(y > 0) •以原点为圆心•以t(t0)为半径的圆分别点C , D ，求四边形 ABCD 面积的最小值.由题意知，直线 AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设 k2X。
2.解：(I )设切点Q X 0,4X g亍，知抛物线在Q 点处的切线斜率为肓，故所求切线方程为X 0(X X 。
)• 因为点P(0,)在切线上.所以42,X 0 16,•所求切线方程为y 2x 4 •(II )设 A(X 1,屮),C(X 2,y 2)• 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点 A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C •(I)求点 A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式(n)设曲线G 上点D 的横坐标为a 2 ,求证：直线CD 的斜率为定值.1•解：(I) 由题意知，A(a, '2a). 因为|0At ，所以a 2 2a t 2 .由于t 0 ,故有"O 由点B(0,t), C(c,0)的坐标知，直线 BC 的方程为x y 1 c t又因点A 在直线BC 上，故有a ' 2a1，将(1 )代入上式，得ac t* 2a .a(a 2)解得 c a 2,2(a 2) •(n)因为D(a 2,、.2(a 2))，所以直线CD 的斜率为■2(a 2) a 2 c2@—2)v 2(a ,2) a 2 (a 2.、2(a 2))2(a 2)所以直线CD 的斜率为定值. 2 •设F 是抛物线G: X 2 4y 的焦点.(I )过点P(0, 4)作抛物线G 的切线，求切线方程;(II )设A, B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足 0 ,延长AF , BF 分别交抛物线G 于B萌 2a :(15因直线AC 过焦点F(0,，所以直线 AC 的方程为y kx 1.y kx 点A, C 的坐标满足方程组 \' 2 A x 4y , 由根与系数的关系知x 1X 2 4k， 4. X \X 2 AC X 2)2 (y 1 yj 2 心 k 2J(X 1 X 2)2 4X 1X 2 4(1 k 2).1因为AC BD ，所以BD 的斜率为 一，从而BD 的方程为 k 同理可求得 BD 4 24(1 k ) k 21 S ABCD _2 -|AC ||BD8(1 k 2)2 k 2 8(k 2 2 [) >32 . k 2 ABCD 面积的最小值为 32 . 2r ,短半轴长为r , 当k 1时，等号成立•所以，四边形 3 •如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为 状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记 (I) 求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；(II) 求面积S 的最大值. 3.解：(I )依题意，以 AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy (如图)，则点C 的横坐标为 2 点C 的纵坐标y 满足方程x 2 r 解得y 2 _r 2 x 2(0 2(x ，其定义域为 x.1(y > 0),x0 xx r) x r ,y4r 2计划将此钢板切割成等腰梯形的形(ll )记 f (x) 4(x r)2(r 2 x 2),0 (x) 8(x r)2(r 2x).(x) rf (x)0 ；当 x r 时,21f (x)0 ,所以f r 是f (x)的最大值.2因此，当时，S 也取得最大值，最大值为即梯形面积S的最大值为•匕3r2.24 •如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M (2,0) , AB 在直线的方程为x 3y 6 0点T( 1,1)在AD边所在直(I)求AD边所在直线的方程；(II)求矩形ABCD外接圆的方程；(III )若动圆P过点N( 2,0)，且与矩形ABCD外接圆外动圆P的圆心轨迹方程.4.解：(1)因为AB边所在直线的方程为x 3y 6 0 ,且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3 •又因为点T( 1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y 1 3(x 1).即3x y 2 0 .x 3y 6 0,(II)由解得点A的坐标为(0, 2),3x y 2 = 0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M (2,0).所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又AM| 7(2 0)2(0 2)22血•故矩形ABCD外接圆方程为(x 2)2 y2 8 .(III )因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM| |PN| 2^2，即|PM| |PN| 2迈.故点P的轨迹是以M , N为焦点，实轴长为2. 2的双曲线的左支.因为实半轴长a 迈，半焦距c 2 .所以虚半轴长b . c2a2.2 .2 2从而动圆P的圆心的轨迹方程为X y 1(x < 2).2 25 .已知函数y kx与y x 2(x > 0)的图象相交于A(%, %) , B(X2, y?) , h , L分别是2y x 2(x > 0)的图象在A, B两点的切线，M , N分别是h , J与x轴的交点.(I)求k的取值范围；(II )设t为点M的横坐标，当x1 x2时，写出t以为为自变量的函数式，并求其定义域和值域；(III)试比较OM与ON的大小，并说明理由(O是坐标原点).边所线上.切,求y kx,25•解：(l )由方程2 消y 得x 2 kx 2 0 .①y x 22曰关于k 的减函数，所以x i 的取值范围是(0, . 2).x i 时，有相同的结果|OM | |ON | 0 •所以|OM | |ON | .6 •如图，已知 F(i,0)，直线l :x i , P 为平面上的动点，过点 P 作I 的垂线，垂足为点 Q ，且 Q P|Q FF P |F Q .(I)求动点P 的轨迹C 的方程；(n)过点F 的直线交轨迹 C 于A, B 两点，交直线I 于点M .M A i AF , M B 2B F ，求 i 2 的值；M A]M B 的最小值.6•解：(I)设点 P(x , y)，则 Q( i , y)，由 Q P(Q F FPpQ 得:(x i,0)((2, y) (x i , y)|( 2, y)，化简得 C : y 2 4x .(n) (i )设直线 AB 的方程为：x my i(m 0).依题意, 该方程有两个正实根,k 2 X i X 2解得k 2.2 .0,(II )(x)2x ，求得切线l i 的方程为y2x-i (x x 1)y i ,X iy i2 x i并令y 0 ,得tx i i 2 x iX 2是方程①的两实根，且 X i X 2，故X ik k 2 8 2X i 疋 t 是关于x i 的增函数, 定义域为(0,2)，所以值域为0),(Ill )当 x i x 2 时,由(II )可知 |OM I|t|X ix i类似可得 ON|寺丄• |OM | |ON |X 2xix2x i x 2由①可知 x-i x 2 2 .从而 OMON当X 2 (i )已知 (2 )求16 •设 A （x i , y i ） , B （X 2, y 2），又 M 1, Q P|Q F FP |F Q 得：F ^|（PQ P F ）（P Q P F^（P Q P F ） 0,2 2PQ PFP Q IP F .所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹 C 的方程为:（n ） （ 1）由已知 则: M A 1AF , MB 2B F ，得 1 A F| 詁.①.Ai ,B i ,__ 22m y i y j|y 2 Y My 2 4x .解法二：（I ）由0, 2 0,1 22（4m ） 12 0 ,I由M AY1m 11联立方程组 y 4x，，消去x 得：y 24 my 42xOy ，已知圆心在第二象限、半径为 2 2的圆C 与直线y x 相切于坐标原点(1)求圆C 的方程;(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点 Q ,使Q 到椭圆右焦点F 请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.2 27•解：(1 )圆 C : (x 2) (y 2)8 ;所以存在，Q 的坐标为(纟,12)。
5 528.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0,2)且斜率为k 的直线I 与椭圆—2AB 共线如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由.当且仅当m 2 A ,m最小值为16.即m 1时等号成立，所以1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.8.解：(I)由已知条件，直线 I 的方程为ykx 2 ,x 2 2、一2kx直线I 与椭圆有两个不同的交点 P 和Q 等价于8k 2 4k 2解得k或k 辽•即k 的取值范围为2 2OO OO7 .在平面直角坐标系的距离等于线段 OF 的长，若存在, 2 2x y(2)由条件可知a=5，椭圆一 —1 ,••• F ( 4, 0),若存在，则25 90Q 的中垂线上, 又 0、Q 在y直线CF 的方程为y-仁-l(x 1),即x 3y 4 0,设Q (x,y ),贝V x3x2 3y2x，解得4 5 12 51有两个不同的交点(I )求k 的取值范围;(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A, B ，是否存在常数使得向量Op 0Q 与将②③代入上式，解得 k2由(】)知k 2或k2，故没有符合题意的常数k._999.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆x 2 y 2 i2x 32 0的圆心为 线与圆Q 相交于不同的两点 A B .整理得(i k 2)x 2 4(k 3)x 360.直线与圆交于两个不同的点A B 等价于2 2 2[4( k 3) ] 4 36(i k ) 4 ( 8k33解得—k 0 ,即k 的取值范围为—,0 .44(n)设 A(x , y i ), B(X 2, y 2)，则3将②③代入上式，解得 k —4(n)设 pg.y i ), Q(X 2, y 2)，则 OP OQ (X iX 2, y i y 2), 由方程①, X i X 2 4、、2k i 2k 2• AB ( <2,i).②又y i y 2k(x , x 2) 2、2 .而 AG.2,0) B(0,i), Op O Q 与AB 共线等价于x i x 2, 2( y i所以y 2),4( k 3)扌k2而 P(0,2) Q(6,0)PQ 与P Q 共线等价于 化 x 2) 6( y i y 2),由方程①, x-i x 2 (6, 2).②又 y i y 2 k(x-i x 2) 4.所以Q ,过点P(0,2)且斜率为k 的直(1)求k 的取值范围;(n)是否存在常数 k ，使得向量O A OB 与P Q 共线如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由.9.解：(I)圆的方程可写成(x 2 26) y4，所以圆心为Q(6,0),过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y kx 2 •代入圆方程得x 22(kx 2) 12x 32 0 ,(x i X 2, y i y 2),2直线AB 的方程为ykx p ，与 x 22 py 联立得 2py'消去 y 得 x 22pkx 2p 2•由韦达定理得捲 x 2 x-|x 22p 2 • 是 S A ABNSA BCNS A ACNP8p^2p 2 k 22 , • ••当k 0时，0 ABN )min2 \2p 2 •(n)假设满足条件的直线 |存在，其方程为yAC 的中点为O , l 与AC 为直径的圆相交于点PQ 的中点为H ,则OHv OP-AC由(I)知k 3,，故没有符合题意的常数 k .4210•在平面直角坐标系 xOy 中，过定点C(0, p)作直线与抛物线x 2py ( p 0)相交于A, 占 八、、♦(I) 若点N 是点C 关于坐标原点 O 的对称点，求 △ ANB 面积的最小值；(II) 是否存在垂直于 y 轴的直线I ，使得I 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在，求出 方程；若不存在，说明理由.10.解法1: (I)依题意，点 N 的坐标为N(0, p)，可设A(x n yj , B (X 2, y ?), xX i x 2•a 夕 y i a(p a),2-，此时PQ p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y 2即抛物线的通径所在的直线.解法2: ( I)前同解法i ,再由弦长公式得2p 1一k 2・ k" 2 , 又由点到直线的距离公式得d••当 k 0 时，(S A ABN ) min 2 迈 f •(x 0)(x x i ) (y p)(y y i )由.ii •解：由条件知 F i ( 2,0) , F 2(2,0)，设 A(x i , y i ), B (X 2, y ?).••• PQ(2 PH )24 a -p y i a(p a).，得a 从而S A ABNi i—尹|AB| 22砧巴厂•邛2J i k 22p 2 . k 2 2 ,(n )假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a ，则以AC 为直径的圆的方程为将直线方程y a 代入得x 2x 1x (a P)(a y i )0,2则△ X i 4(a p)(a y i ) 4■p y i a(p a)设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为Pg, y 3), Qgyj ，则有 |PQ | |x 3 x 4y i a(p a) 2a子 yi a(p a).令a 卫0，得a —，此时2 2即抛物线的通径所在的直线. PQ p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y2y 2的左、右焦点分别为F i , F 2，过点F 2的动直线与双曲线相交于(I) 若动点M 满足FM FA FB FQ (其中0为坐标原点)，求点M 的轨迹方程;(II) 在x 轴上是否存在定点 C ，使CA - CB211.已知双曲线xA B 两点.为常数若存在，求出点 C 的坐标；若不存在,请说明理i .AB 的中点坐标为将y-i y 2 ——(x-i x 2)代入上式，化简得(x 6)2x 8当AB 与x 轴垂直时，x i X 2 2，求得M (8,0)，也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是(x 6)2 y 2 4 •当AB 不与x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是y k(x 2)(k 代入 x 2 y 22 有(i k 2)x 2 4k 2x (4k 2 2) 0 •当AB 与x 轴垂直时，点 A , B 的坐标可分别设为(2,, 2) , (2, . 2), 此时CA|CB (i ,，2)|(i ,2)解法一：(I )设M (x , y)，则则(X 2 2 y 2),FQ (2,0),2 X i X 26即 XX2y i y 2y i y 2(x 2, y), K F M K FB F O 得(X i 2, y i ),4,当AB 不与x 轴垂直时,y i y 2 x i x 2y 2x 422x y8，即 ”y 2(X i X 2)•又因为A, B 两点在双曲线上，所以2 2xiy i2 , x ；2 y22，两式相减得(x i X 2)(x i X 2) (y i y 2)(y iy 2)，即 %X 2)(X 4) (y i y 2)y •(II )假设在X 轴上存在定点C(m,0)，使i) •则X i , X 2是上述方程的两个实根，所以 X i X 24k 2 k 2iX i X 24k 2 2 k 2 i '2m)(x 2 m) k (x.(2)(x 2 2)2(i 2m)k 2224 4mm 2(i 2m)中k 2i因为CA|CB 是与k 无关的常数，所以4 4m0，即mi ，此时 CACB =i .为常数.(X i 曰 疋故在x轴上存在定点C(i,0)，使CACB为常数.i .解法二：（I ）同解法一的（I ）有 1y i X 2 y 2 x 4,y 当AB 不与x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是y k(x 2)(k1)•代入 x 2 y 2 2 有(1 k 2)x 2 4k 2x (4k 2 2) 则x ,,X 2是上述方程的两个实根，所以 x 1 x 2 4k 2 k 2 14k 2 ¥1 ¥2 Wx 2 4) k百 44k k 2 由①②③得x 4 4k2k 2 1 4k k 2 1 k 0 时，y 0,由④⑤得, 将其代入⑤有 x 4 4 —— y (x_4)2 1 2 I y 4y(x 4) (x 4)2 y 2 •整理得（x 6)2 y 2 4 • k 0时，点M的坐标为（4,0），满足上述方程. 当AB 与x 轴垂直时, X 1 X 2 2，求得 M （8,0），也满足上述方程. 故点M 的轨迹方程是（x 6）2 y 2 4 • （II ）假设在x 轴上存在定点点 C （m,0）, 使cA|CB 为常数, 当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有x 1 4k 2 2 k 2 1以下同解法一的（II ）• 2 212 •已知双曲线x y 2的右焦点为F ,过点F 的动直线与双曲线相交于 A, B 两点, C 的坐标是(1,) • （I ）证明C ACB 为常数； （II ）若动点M 满足cM CA CB C O （其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程.12•解：由条件知 F(2,0)，设 A(X 1, yj , B(X 2, y ?) •代入 x 2 y 2 2 ,有(1 k 2)x 2 4k 2x (4k 2将y-i y 2 —- (X 1 X 2)代入上式,化简得X 2X 1 X 2 2 ,求得M (2,0),也满足上述方程. 所以点M 的轨迹方程是x 2 y 24 .解法二：同解法一得X 1 X2X 2, ......................... ①y 1 y 2 y(I )当AB 与x 轴垂直时，可设点A, B 的坐标分别为(2, 2) , (2, , 2),1 .当AB 不与x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是yk(x 2)(k1)•则x ,, X 2是上述方程的两个实根，所以X i X 24k 2 k 21,x ,x 24k 2V1)(X 21) k 2(x 12)(X 2 2)k 2 14k 221 ( 4k 22) 4k 1为常数 1.(II )解法一：设 M (X , y),则 CM(X 2 1, y ?), 1 X 1X23即X 1 y 1 y 2y 2 AB 的中点坐标为当AB 不与X 轴垂直时,y 1 y 2 X 2X 1 y 2X 222，即y 1y 2X y 2(x 1X 2).又因为A, B 两点在双曲线上，所以2 2 X1y 12 , x ；2 y2两式相减得(X 1 X 2)(X 1 X 2)(% y 2)(y 1丫2)，即(X 1 X 2)(X 2)(y 1y 2)y •当AB 与X 轴垂直时, (X i 1)(X 2 i) yy2 22) 4k (2k1) k 2 1综上所述,(X (1,0), 由得:2,y1 , y ) , CA (X 1 1 , yj ,X 2 X1故点M 的轨迹方程是x 2 y 213 •设动点 P 到点A( 1,0)和B(1,0)的距离分别为d 1和d 2 ,2APB 2 ，且存在常数(01)，使得dp 2Sin.(1) 证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出 C 的方程；(2) 过点B 作直线交双曲线 C 的右支于M , N 两点，试确定 的O M|Q N 0,其中点o 为坐标原点.故点P 的轨迹C 是以A, B 为焦点，实轴长2a 2、、1方程为:(2)设 M (捲,y 1) , Ng y 2)①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为x 1 , M (1,1) , N(1,13•解法 2(1)在△ PAB 中，AB 2，即 2 2 2d 1 d 22d 1d 2 cos24 (d 1 d 2)2 4d22Sin 2，即 |d 1 d 24 4d 1d 2sin 2 2-1 2 (常数)，当AB 不与x 轴垂直时，由(I )有x 14k 2 X 22ky i y 2 k (* X 2 4)由①②③得4k 2 k 2 1 1 •4k ..... ⑤2 1 .k 0时,0,由④⑤得,4 二y(x 2)214y(x 2)(x 2)2 y 2.整理得x 2 y 2 4.k 0时，点M的坐标为( 2,0)，满足上述方程.当AB 与x 轴垂直时,X-I x 2 2，求得M (2,0)，也满足上述方程.的双曲线.将其代入⑤有③yk 4k k 2 1范围，使1)在双曲线上.10 ,解得y y 2 12,1 1 即丄-1 1宁，因为1所以②当MN 不垂直于x 轴时, 设MN 的方程为y k(x 1).2 2x y由1—y k(x 1得:(1 )kx 2 2(1 )k 2x (1 )(k 2由题意知: 所以x 1 x 21)(1 )k 22k 2(1 )(1 )k 2,X |X 2 (1)(k 2)(1 )k 22k (人 1)(X 21)k 2 2 2(1 )k，N 在双曲线右支上，所以k 2 (1 )2x 1 x 2 x 1x 2 0 k 2由①②知, (1 )214.已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线 2x 上, 其中0为坐标原点，设圆C 是厶OAB 的内 接圆(点珂C 为圆心) (I )求圆C 的方程; (II )设圆M 的方程为(x 4 7cos )2(y 切线PE , PF ，切点为E , F ，求 C^J C F的最大值和最小值. 27sin ) 1，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条14. (D 解法一：设A , B两点坐标分别为2 2曹,y 2 ，由题设知 2 2y122 y122 y222号(％ 丫2)2.2所以 A(6,2、」3) , B(6, 2, 3)或 A(6, 2、、3) , B(6,2、3).2设圆心C的坐标为(r,)，则r 6 4，所以圆C的方程为32 2(x 4) y 16. .................................................................................................... •分解法二：设A, B两点坐标分别为(x1?yj , (x2, y2)，由题设知2222 「，2小 2 2小2小X i y i X2 y•又因为y i 2x i，y2x?，可得X i 2x i x? 2x?.即(X i X2)(X i x22) 0•交椭圆于A, C两点, 且AC BD，垂足为(n)求四边形ABCD的面积的最小值.i5.证明：(I)椭圆的半焦距c 、，3 2由AC丄BD知点P在以线段F,F2为直径的圆上，故2 2 2 2 , 所以，生血w 皿丄i由X i 0 , X2 0,可知X i X2，故A, B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.设C点的坐标为2(r,0)，则A点坐标为3r, 3r ，于是有3 r 22 2 23r，解得r 4，所以圆C2的方程为(x 4)2 3 y2 i6.(II)解：设ECF 2a，则CE|CF | 蓟科cos22i6cos 2 32cos i6.在Rt A PCE 中，cos —，由圆的几何性质得|PC| |PC|| PC |< | MC | i 7 i 8 , | PC |> |MC | i 7 i 6 , CE|C F <i 2所以< cos < ，由此可得8 <3的最大值为则詈，最小值为8•i6i的左、右焦点分别为F i , F2 •过F i的直线交椭圆于B, D两点，过F2的直线(I)设P点的坐标为(x0, y0)，证明: 2 X o32y。