② 错， f x π cosx 2π sin x 2π cosx sinx ，周期为 T 2π ．
f
2014π 3
=f
4π 3
cos
π 3
sin
π 3
3 ， ① 对． 4
当
x
π 4
,
π 4
时，
f
x
cos
x
sin
x
1 2
sin
2x
，
2x
π 2
,
π 2
，所以
f
x 在
π 4
,
π 4
a 3
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】①令 1 x π π kπ k Z，解得 x 2π 2kπ k Z，当 k 1时，则 x 8π ，
2 62
3
3
故正确
②将函数
f
x 的图像向右平移
π 3
个单位得：
y
2 sin
1 2
x
π 3
π 6
2 sin
1 2
x
，故错误
③令 π 2kπ 1 x π π 2kπ k Z ，解得 4π 4kπ x 2π 4kπ k Z，故错误
,
0
，
x
π 4
1 2
π
π 4
,π
π 4
，
∵函数
f
x
sin
x
π 4
在
π 2
,π
上单调递减， 周期
T
2π
π
，解得
2
，
∵
f
x
sin
x
π 4
的减区间满足：
π 2
2kπ
x
π 4
3π 2
2kπ,
k
Z
，
取
k
0
，得
1 π 2 π
π 4
ππ 42 3π
2
，解之得 1 5 ，
3π 4
sin
π 4
∵ 0 π 3π ， π π 0 ， 3π 3π π ，
4
4
24
4
4
sin
π 4
4 5
，
cos
3π 4
12 13
，
sin
12 13
3 5
4 5
5 13
56 65
．
2．三角函数的值域与最值
例
2：已知函数
f
x
cos
2x
π 3
2
f
x 在
π 12
,
π 24
单调，则
的最大值是（
）
A．3 【答案】B
B．5
C．7
D．9
【解析】∵
f
x
sin x
0,
π 2
，
x
π 4
和
x
π 4
分别是函数
f
x 取得零点
和最小值点的横坐标，∴
π 4
π 4
kT 2
T 4
，即
π 2
2k 1 T
4
k
Z．
又∵ T 2π ， 0 ，∴ 2k 1 k N* ，
A．在
π 3
,
π 6
上单调递减
C．在
π 6
,
0
上单调递减
【答案】D
B．在
π 6
,
π 3
上单调递增
D．在
0,
π 6
上单调递增
【解析】 f x
3 sin 2x cos 2x 2
3 2
sin
2x
1 2
cos
2x
2
sin
2x
π 6
，
单调递增区间： π 2kπ 2x π π 2kπ π kπ x π kπ k Z
sin
x
π 4
sin
x
π 4
，
（1）求函数 f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；
（2）求函数
f
x 在区间
π 12
,
π 2
的值域．
【答案】（1） T
π
，对称轴方程：
x
π
kπ
k
Z；（2）
32
3 2
,1
．
【解析】（1）
f
x
cos
2x
π 3
2 sin
x
π 4
sin
x
π 4
1 cos 2x 2
3 2
sin
2x
2
2 sin x 2
2 2
cos
x
2 sin x 2
2 2
cos
x
1 cos 2x 3 sin 2x sin2 x cos2 x
2
2
1 cos 2x 3 sin 2x cos 2x 3 sin 2x 1 cos 2x
2
2
2
2
sin
2x
π 6
T π 对称轴方程： 2x π π kπ x π kπ k Z．
62
32
（2）
f
x
sin
2x
π 6
，∵
x
π 12
,
π 2
， 2 x
π 6
π 3
,
5π 6
，
f
x
sin
2
x
π 6
3 2
,1
．
3．三角函数的性质
例 3：函数 f x 3 sin 2x cos 2x （ ）
①f
2014π 3
3 ； ② 函数 4
f x的周期为 π ；
③f
x
在区间
π 4
,
π 4
上单调递增；
④f
x
的图象关于点
π 2
,
0
中心对称
其中正确说法的序号是（ ）
A． ②③
B． ①③
C． ①④
D． ①③④
【答案】B
【解析】 f x π cosx π sin x π cosx sinx ，所以函数 f x 的周期不为 π ，
2
2 62
3
3
④若
f
x
a
，即
2
sin
1 2
x
π 6
a
，则
cos
1 2
x
π 3
sin
π 2
1 2
x
π 3
sin
1 2
x
π 6
a 2
，故错误
故选 A．
12．函数
f
x
Asin x A
0,
0,
π 2
的图象关于直线 x
π 3
对称，它的最小正
周期为 π ，
则函数 f x 图象的一个对称中心是（ ）
33
T
则 y sin 2x ，
因为
f
π 3
f
π 2
，所以该三角函数的一条对称轴为
x
π 3
2
π 2
5π 12
，
将
5π 12
,1
代入
y
sin
2x
，可解得
π 3
，所以选
D．
7．已知函数
f
x
sin x
0,
π 2
，
x
π 4
和
x
π 4
分别是函数
f
x 取得零点
和最小值点横坐标，且
2
62
3
6
单调递减区间： π 2kπ 2x π 3π 2kπ π kπ x 2π kπ k Z
2
62
6
3
符合条件的只有 D．
对点增分集训
一、单选题
1．若
sin
π 6
1 3
，则
cos
2π 3
2
的值为（
）
A． 1 3
B． 7 9
C． 1 3
D． 7 9
【答案】B
【解析】由题得
1
2
1 4
1
，故选
B．
24
4．关于函数
f
x
3sin
2x
π 3
1x
R ，下列命题正确的是（
）
A．由 f x1 f x2 1 可得 x1 x2 是 π 的整数倍
B．
y
f
x 的表达式可改写成
f
x
3cos
2x
π 6
1
C．
y
f
x
的图象关于点
3π 4
,1
对称
D． y f x的图象关于直线 x π 对称
又∵
f
x 在
π 12
,
π 24
单调，∴
π 24
π 12
T 2
，
又∵ T
2π
∴
8
，
当 k 3 ， 7 时， f x sin 7x ，由 x π 是函数 f x 最小值点横坐标知 π ，
4
4
此时，
f
x 在
x
π 12
,
π 28
递减，
x
π 28
,
π 24
递增，不满足
【解析】函数
y
sin
x 2
π 6
的最小正周期为
T
2π 1
4π
，不满足①，排除
A；
2
函数
y
sin
2x
π 6
的最小正周期为 T