为孩子插上“思维的翅膀”
发表时间：2011-06-16T16:49:39.357Z 来源：《中小学教育》2011年第8期下供稿作者：周英玉[导读] 这里真正对学生思维发展有价值的，是让学生在尝试中自主产生分割的需要、自主发现怎样分割最好的过程周英玉四川绵阳东辰国际学校小学部数学组621000 □设计缘起、意图：
《三角形的内角和》练习课中，我们发现：教材让学生计算长、正方形的内角和时，直接告诉学生先用线段连接长、正方形一组对角的顶点，把长、正方形分割成两个三角形来计算。
笔者认为，这里真正对学生思维发展有价值的，是让学生在尝试中自主产生分割的需要、自主发现怎样分割最好的过程。
分割后计算内角和并不难，难就难在为什么要分割和怎样想到要分割的，以及怎样分割好些的问题。
于是我们有了把《多边形的内角和》上成思维训练课的想法，旨在让学生经历提出问题，通过实验、类比、观察等数学方法，根据现实材料发现规律并提出猜想，在验证猜想的正确性后
归纳得出结论，并数学化、符号化，最后应用提升的研究过程。
然后再提出新问题，让学生将此研究方法灵活运用到新问题的研究中去，努力实现“教育无痕”，于“无形”中为孩子插上一双“思维的翅膀”。
一、提出问题
孩子们，我们已经知道三角形的内角和是180°，那么四边形、五边形、八边形呢？今天我们就来研究这个问题——掲题：多边形的内角和。
◆积累现实研究材料：
1、实验：（解决“需要分割”的问题。
）（1）长方形的内角和，可以怎样算？（2）汇报：A：4×90°=360° B：2×180°=360°
师：你是怎样想的？（生略。
）师：你又是怎样想到用分割法的？生：我们已经学过三角形的内角和是180°，可以把长方形分割成两个三角形来算内角和。
师生小结：把长方形分割成三角形，把没学过的转化成学过的。
“转化”是很重要的数学思想。
（3）算法优化：
师：算长方形的内角和，哪种方法好些？（生：B种方法好些。
）【用两种不同方法计算长方形的内角和，增强学生多角度思考问题的意识；培养学生当遇到没学过的问题时，能想到转化成学过知识的意识。
这里重点解决“要分割”的问题。
】二、尝试（解决怎样分割好的问题）（1）不规则4边形的内角和又怎样算？（2）汇报：2×180°=360°。
师：你是怎样想的？还有不同方法吗？师：才说A种方法好，怎么又都选B种呢？（生略。
）师：你认为选择哪种方法解决问题？应根据什么来确定？（生：应根据实际情况来确定。
）师：还有别的分割方法吗？
师：像这样分割，怎么样？为什么？（若学生没有生成，老师抛出。
）
预设一：生1：不行。
这样分成了四个三角形，四边形内角和就应该4×180°=720°。
预设二：生2：可以。
这样分成了四个三角形，只需要再减去360°就可以了，即4×180°-360°=360°。
（3）优化分割方法。
师：这些分割方法可以分为几类？你喜欢哪一类？又怎样分割（实际操作）呢？（小组交流。
）生3：我们喜欢第一类分割方法，把不规则四边形分割成2个三角形，这样简便些。
我们认为分割时要尽量从一个顶点出发画分割线段，尽量避免分割线段交叉。
预设：若学生没有生成老师抛出问题：分割时要尽量避免什么？分割时要尽量做到什么？生4：我喜欢第二类分割方法，把不规则四边形分割成4个三角形，再减去中心的周角360°。
生A：分割时只需连接不规则四边形对角的顶点，把四边形分割成4个三角形。
生B：分割时在四边形内任取一个点o，分别与四个顶点相连分割出4个三角形。
（若学生没有生成，由老师抛出。
）师：你认为生A的分割法好些，还是生B的？为什么？（不急于得出结论，在下一步类比学习中学生自主优化。
）【通过前后算法的不同选择，渗透具体问题具体分析的哲学思想；以小组学习的形式，让学生充分讨论，自主优化分割方案，理解分割的理由。
这里重点解决怎样分割好的问题，为下一步类比研究奠定坚实的基础。
】 3、类比：
（1）计算5边形、6边形的内角和。
（2）汇报：生C：3×180°=540°
4×180°=720°
生D：5×180°-360°=540°
6×180°-360°=720°
师：你认为生A的分割方法更好还是生B的？为什么？
生1：我认为生B的更好，因为生B的方法可以在五边形内任取一个点进行分割。
生2：我认为生A的方法也可以，只不过分割时要注意尽量从一个顶点出发引分割线。
师：明白意思了吗？大家认为呢？
师生小结：计算5边形、6边形内角和，可以从某一个顶点出发引分割线，也可以在5、6边形内任取一个点，再与各顶点连接，把5、6边形转化成三角形再计算。
【迁移类推：运用分割法求5、6边形的内角和，积累更丰富的研究材料。
】三、发现和猜想
（1）观察发现：观察4、5、6边形内角和的计算过程，你发现了什么？【前人的许多创造和发明都源自一个偶然的问题或现象，通过提出一个开放问题，引导学生从一个偶然问题出发，经历从偶然中发现必然的过程。
这种一刹那间的突然发现所带来的惊喜，不但可以增强学生的自信心，而且可以激发学生进一步研究的欲望。
】（2）猜想：如果是n边形，怎样计算内角和呢？举例验证（小组交流）。
汇报：n边形的内角和=（n-2）×180°
n边形的内角和=n×180°-360°
四、验证猜想
（1）师：我们的发现正确吗？请验证！（生画图说明）。
师：当例证没法穷尽时，我们怎么办？（应该考虑特殊情况或看是否能举出反例。
）师：能举出反例吗？（不能）。
据此证明我们的发现是——？（正确的！）【通过对现实研究材料4、5、6边形内角和算法的观察，发现蕴含其中的一般规律，由此根据类比推理提出猜想并例证猜想；这里教师既引导学生研究了一般情况，又提示学生注意特殊情况，运用了不完全归纳的方式验证猜想。
】（2）两种思路对比统一。
比较：两种算法相同吗？有什么区别和联系？
生1：两种算法思路不同！
生2：两种算法策略相同，都是把多边形用分割的方法转化成三角形计算内角和。
（学生没有生成老师告诉。
）五、归纳概括结论（数学化）
n边形的内角和=（n-2）×180 °
师：这里n-2表示什么意思？
生：表示多边形可以分割成几个三角形。
n边形的内角和=n×180°-360 °
师：这里n×180°表示什么意思？为什么要减去360°？
生1：n个三角形的内角和。
生2:在n边形内取一个点，与n个顶点连接分割成 n个三角形时，中心就增加了一个周角，所以要减去360°。
师：n可以是什么数？说说理由。
（生n可以是整数。
）师：可以是任何整数吗？为什么？
生：不能。
必须是大于2的整数。
因为如果小于或等于2，就不能组成多边形。
师生小结：多边形的内角和=（n-2）×180°，n边形的内角和 =n×180°-360°，n必须是大于2的整数。
【我们从一个特殊问题出发，归纳抽象出普遍存在的一般规律，并给学生提供了充分体验数学化过程的机会。
】
六、应用——纵向提升
1、求12边形的内角和。
2、多边形的内角和是5400°，它是几边形？
【让学生应用研究结论解决问题，并在此基础上逆向思考，引导学生的思维向纵深发展。
】
六、提出新问题——横向提升
1、一块砖的长是2厘米，宽是1厘米。
如果像这样砌的一堵墙周长是180厘米，这堵墙共砌了几层？
2、一张方桌可以坐8位客人。
（1）当n=10时，共可以坐几人？
（2）如果共坐了84人，是几张这样的方桌拼在一起的？
【这是在第一层次基础上对新问题展开的第二层次研究，又重复经历第一层次中提出问题、发现和猜想、验证猜想、归纳概括结论的四个步骤（如果发现结论不成立则举出反例加以否定）。
在一节课中，这种循环随着新问题的形成和不断深入重复3次，使课堂教学不断向纵深推进，从而在质和量上保证研究的效果。
】
□教学反思：
当教学“求不规则四边形内角和”时，学生出现了两类不同的分割方法（一类只连接一组相对的顶点，另一类连接两组相对的顶点及在四边形内任取一点与各顶点连接分割），学生对分割方法分类后，师生共同对具体分割方法作深度讨论交流后，教学再往前推进，可达到事半功倍的效果。
本课让学生三次经历了提出问题、发现和猜想、验证猜想、归纳概括结论的四个步骤（当发现结论不成立时则举出反例加以否定），学生对这一研究方法逐渐达到了熟练的程度，从而培养了研究意识，养成了研究习惯，形成了研究能力，于无形中为孩子插上了一双“思维的翅膀”，让孩子们在数学王国里自由翱翔。