牛顿-莱布尼茨公式
• 牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也 被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函 数或者不定积分之间的联系。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增 量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了 这一公式，[2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了 这一公式。[1] 因为二者最早发现了这一公式，于是命名 为牛顿-莱布尼茨公式。
原函数存在定理
• 原函数是指已知函数f(x)是一个定义在某区间的函 数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的 任一点都 举例dF(x)=f(x)dx。 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
原函数的定义
• 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存 在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 • 若F'(x)=f(x)，dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函 数F(x)为函数f(x)的原函数。 • 例：sinx是cosx的原函数。
公式应用
• 牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可 以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围 成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算 坝体的填筑方量。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运 动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的 万有引力。[1] • 牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式 在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支 中都有体现。
不等式证明
• 积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当 积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据 被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到 证明不等式成立的目的。 • 在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便 去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用 积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运 用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本 不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可 以得到“>”的结论, 或者成功的算中, 如果 含有定积分式, 常常可以运用 定积分的相关知识, 比如积分 中值定理等, 把积分
运用估计
• 在大多数的积分式中, 能找到其被积函数的原函数再进行 求值的积分简直是凤毛麟角, 当被积函数“积不出”或者 原函数很复杂时, 可用各种方法 来估计积分.对于乘积型的被积 函数, 将变化缓慢的部分或积分 困难的部分进行估计, 可积的部 分积分之。积分中值定理和各 种不等式就是其中常用的方法：
原函数存在定理
• 若函数f(x)在某 区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函 数，这是一个充分而不必要条件，也称为“ 原函数存在 定理”。 • 函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x) 的原函数， • 故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个. • 例如，x 3是3x 2的一个原函数，易知，x 3+1和x 3+2也都 是3x 2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就 有许许多多原函数，原函数概念是为解决 求导和微分的 逆运算而提出来的。
• 解：
定理意义
• 牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长 度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方 法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数， 总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。 • 牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是 微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆 运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此 微积分成为一门真正的学科。[7] • 牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱 布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理 和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推 广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
几何意义和力学意义
• 设f(x)在[a,b]上连续,则由 曲线y=f(x),x轴及直线 x=a,x=b围成的曲边梯形的面积函数(指代数和— —x轴上方取正号,下方取负号)是f(x)的一个原函数. 若x为时间变量,f(x)为直线运动的物体的速度函数, 则f(x)的原函数就是路程函数。
例题
• 计算定积分：
定理内容
• 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至 少存在一个点ԑ，使下式成立：
• 其中，a、b、ԑ满足：a<=ԑ<=b。
定理应用
• 积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以 使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对 简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于 证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等 式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的 极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中 值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。
定义
• 如果函数f(x)在区间[a,b]上连 续，并且存在原函数F（x）,则：
弱化条件
• 如果函数f(x)在区间[a,b]上有定义，并且满足以下 条件： • （1）在区间[a,b]上可积； • （2）在区间[a,b]上存在原函数F（x）； • 则：
发展简史
• 1670年，英国数学家伊萨克· 巴罗在他的著作《几何学讲 义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题， 这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。[5] • 1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》 中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题， 并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提 出了微积分基本定理。[2] • 德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积 依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布尼茨在 一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线， 其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得dz/dx=y，则曲 线y下的面积∫ydx=∫dz=z。
通过对牛顿-莱布 尼茨公式的学习， 可以拓展学习： （1）积分中值定理 （2）微积分基本定 理
积分中值定理
• 积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中 值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。 其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。 • 积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者 是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判 定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。