概率论与数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名称 公式表达式德摩根公式 B A B A =，B A B A =古典概型几何概型 ()()()A P A μμ=Ω，其中μ为几何度量（长度、面积、体积） 求逆公式加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A ∪B)=P(A)+P(B)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A ⊂时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 与乘法公式全概率公式贝叶斯公式 （逆概率公式）两个事件 相互独立()()()P AB P A P B =；()()P B A P B =；)()(A B P A B P =；二、随机变量及其分布1、分布函数2、离散型随机变量及其分布分布名称 分布律0–1分布 二项分布 泊松分布3、续型随机变量及其分布 分布名称密度函数分布函数均匀分布分布名称 密度函数分布函数指数分布 正态分布2(,)XN μσ标准正态分布4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑，连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====分布函数(,)i i ijxx y yF X Y p≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ij jp P X x p ⋅===∑ ()j jij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====2、连续型二维随机变量及其分布 ①联合分布函数及性质 分布函数：⎰⎰∞-∞-=x ydudv v u f y x F ),(),(=P （X<=x,Y<=y ）性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=， 离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y =4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k kp xX E ，连续型⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =2、方差①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=± 3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数： (,)()()XYCov X Y D X D Y ρ=，当X 、Y 相互独立时：0=XYρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov = ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布 数学期望方差0-1分布),1(p b p p(1-p) 二项分布),(p n b npnp(1-p)泊松分布)(λP 均匀分布),(b a U 正态分布),(2σμN 指数分布)(λe五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<=⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为02>σ，当n 充分大时有：1()(0,1)~nn k k Y X n n N μσ==-−−→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有： ③近似计算：1()()()nk k b n a n P a X b n n μμσσ=--≤≤≈Φ-Φ∑ 概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数 设总体()X F x ，则样本的联合分布函数)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量 样本均值：∑==ni i X nX 11，样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11 样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXnA ni ki k样本k 阶中心距：11(),1,2,3nk k i i B X X k n ==-=∑3、三大抽样分布 (1)2χ分布：设随机变量(0,1)iX N (1,2,,)i n =且相互独立，则称统计量222212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ (2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n =>=>-②221lim ()()2x n n f x x e ϕπ-→∞==(3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X mF m n Y n=服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F七、参数估计1.参数估计①定义：用12(,,,)n X X X θ∧L 估计总体参数θ，称12(,,,)n X X X θ∧L 为θ的估计量，相应的12(,,,)n x x x θ∧为总体θ的估计值。
②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法：基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体X 的分布中包含有未知参数12,,,k θθθ，它的前k 阶原点 矩()(1,2,,)ii E X i k μ==中包含了未知参数12,,,k θθθ，即12(,,,)(1,2,,)i i k g i k μθθθ==；又设12,,,n x x x L 为总体X 的n 个样本值，用样本矩代替i μ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数12,,,k θθθ的矩估计量12,,,k θθθ∧∧∧。
注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。
3.点估计中的极大似然估计设12,,n X X X L 取自X 的样本，设~(,)X f x θ或~(,)X P x θ， 求法步骤： ①似然函数：11()(,)()()(,)()n niiii i L f x L P x θθθθ====∏∏连续型或离散型②取对数：1ln ()ln (,)nii L f x θθ==∑ 或1ln ()ln (,)niii L p x θθ==∑③解方程：1ln ln 0,,0kL L θθ∂∂==∂∂L ，解得：111212(,,,)(,,,)n k k n x x x x x x θθθθ∧∧∧∧⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 4.估计量的评价标准估计量的评价标准无偏性设12(,,,)nx x xθθ∧∧=L为未知参数θ的估计量。
若E(θ∧）=θ，则称θ∧为θ的无偏估计量。
有效性设1112(,,,)nx x xθθ∧∧=L和2212(,,,)nx x xθθ∧∧=L是未知参数θ的两个无偏估计量。
若12()()D Dθθ∧∧<，则称12θθ∧∧比有效。
一致性设nθ∧是θ的一串估计量，如0ε∀>，有lim(||)0nnPθθε∧→∞->=则称nθ∧为θ的一致估计量（或相合估计量）。
5. 单正态总体参数的置信区间八、假设检验1.假设检验的基本概念基本思想假设检验的统计思想是小概率原理。
小概率事件的概率就是显著性水平α，常取α=0.05，0.01或0.10。
条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为1α-的置信区间已知2σ未知2σ已知μ未知μ基本步骤①提出原假设H0；②选择检验统计量1(,,)ng X XL；③对于α查表找分位数λ，使1((,,))nP g X X Wα∈=L，从而定出拒绝域W；④由样本观测值计算统计量实测值1(,,)ng x x；并作出判断：当实测值落入W时拒绝H0，否则认为接受H0。