定积分在物理中的应用教材分析本节内容是求变速直线运动物体的路程和求变力作功等问题，解决这些问题的关键是将它们化归为定积分的问题．通过本节的学习，使学生了解应用定积分解决实际问题的基本思想方法，知道求变速直线运动物体的路程和求变力所作的功时，定积分是一种普遍适用的方法，初步了解定积分具有广泛的应用．同时，在解决问题的过程中，通过数形结合、化归的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标1．应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题；2．学会将实际问题化归为定积分的问题．过程与方法目标能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法，强化化归思想的应用．情感、态度与价值观培养将数学知识应用于生活的意识．重点难点重点：应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题，使学生在解决问题过程中体验定积分的价值．难点：将实际问题化归为定积分问题．教学过程引入新课提出问题：作变速直线运动的物体其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)，在时间区间[a，b]上所经过的路程s如何用积分表示？活动设计：以提问的形式让学生回答．设计意图让学生认识到定积分在物理学中有着广泛应用．探究新知提出问题1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析． 活动结果：由速度—时间曲线可知：v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，30，10≤t ≤40，－1.5t ＋90，40≤t ≤60.因此汽车在这1 min 行驶的路程是s ＝∫1003tdt ＋∫401030dt ＋∫6040(－1.5t ＋90)dt ＝32t 2|100＋30t|4010＋(－34t 2＋90t)|6040＝1 350(m)． 答：汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m.设计意图通过物理学中“求变速直线运动的路程”这个实例，不但加强学生对之前所学知识的进一步理解，又让学生掌握了如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决的方法．提出问题2：此问题还可以如何解决？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，可知路程即为图中的梯形OABC 的面积，故有S ＝(30＋60)×302＝1 350(m)． 设计意图使学生进一步从数形结合的角度理解定积分的概念，并解决问题． 理解新知提出问题1：一物体在恒力F(单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位：m)，则力F 所作的功为W ＝F·s.那么，如果物体在变力F(x)的作用下作直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a<b)，那么如何计算变力F(x)所做的功W 呢？活动设计：学生先自己思考，然后相互交流．活动成果：与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题，可以得到W ＝∫b a F(x)dx.设计意图让学生通过类比求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的方法，探究得出求变力作功也可用定积分解决．提出问题2：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m 处，求克服弹力所作的功．活动设计：学生独立思考，找一个学生板书．活动成果：在弹性限度内，拉伸(或压缩)弹簧所需的力F(x)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x 成正比，即F(x)＝kx ，其中常数k 是比例系数．由变力作功公式，得到W ＝∫l 0kxdx ＝12kx 2|l 0＝12kl 2(J)． 答：克服弹力所作的功为12kl 2 J. 设计意图通过上面变力作功的积分表示，将其应用于实际问题，加深学生的理解．运用新知例A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t) m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离；(2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间．分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s 等于其速度函数v ＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝∫b a v(t)dt.解：(1)设从A 到C 所用的时间为t 1，则1.2t 1＝24，t 1＝20(s)，则AC ＝∫2001.2tdt ＝0.6t 2|200＝240(m)．答：A 、C 间的距离为240 m.(2)设D 到B 的时间为t 2，则24－1.2t 2＝0，t 2＝20(s)，则DB ＝∫200(24－1.2t)dt ＝(24t －0.6t 2)|200＝240(m)．答：B 、D 间的距离为240 m.(3)CD ＝7 200－2×240＝6 720(m)，则从C 到D 的时间为6 72024＝280(s)，则所求时间为20＋280＋20＝320(s)． 答：电车从A 站到B 站所需时间为320 s.巩固练习物体A 以速度v ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 也以速度v ＝10t(米/秒)在同一直线上与A 同方向运动，问多少时间后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离各是多少？分析：依题意，物体A 、B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．解：A 从开始到t 秒所走的路程为s A ＝∫t 0(3t 2＋1)dt ＝t 3＋t.B 从开始到t 秒所走的路程为s B ＝∫t 010tdt ＝5t 2，由题意：s A ＝s B ＋5，即t 3＋t ＝5t 2＋5，解得t ＝5(秒)．此时：s A＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．答：5秒后A 比B 多运动5米，此时，A 、B 走的距离分别是130米和125米． 变练演编1．一台打桩机将一木桩打入地下，每次打击所作的功相等，土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度成正比，第一次打击将木桩打入1米深，求第二次打入的深度．2．弹性物体所受的压力与缩短的距离之间的关系依照胡克定理F ＝kx(k 是常数)计算，现有弹簧一个，原长有1 m ，每压缩1 cm 时需力5 N ，求自80 cm 压缩至60 cm 时需作功多少？答案：1.思路分析：功是力对位移的积累，抓住两次作功相等，列出定积分表达式，求解即可．解：因土壤对木桩的阻力与木桩进入土壤的深度s 成正比，设其比例系数为k ，则由题意知∫10ksds＝∫x1ksds，解得x＝2，故第二次打入的深度为(2－1) m.点评：本题关键是抓住两次作功相等，搞清积分上限和积分下限．2．解：由题意知比例系数k＝50.01＝500，弹簧被压缩20 cm到被压缩40 cm，需作功W＝∫0.40.2500xdx＝30(J)．点评：此题属于常规题型，应注意单位统一用国际单位制．达标检测1．一物体沿直线以v＝2t＋3的速度运动，求物体在t∈[3,5]内行进的路程为__________．2．物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t＝0时，物体所在的位置为s0，则在t1秒末时它所在的位置为()A．∫t10v(t)dt B．s0＋∫t10v(t)dtC．∫t10v(t)dt－s0D．s0－∫t10v(t)dt3．汽车以每小时32千米的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度大小2 m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车走了约()A．19.75 m B．20.76 mC．22.80 m D．24.76 m4．一物体在力F(x)＝3x＋4(x的单位：m，F的单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4处，求力F(x)所作的功为__________．答案：1.22 2.B 3.A 4.40 J课堂小结1．知识收获：用定积分求变速直线运动的路程和变力作功问题．2．方法收获：数形结合方法．3．思维收获：数形结合、化归的思想．布置作业课本习题1.7A组第5,6题．补充练习基础练习1．某质点作直线运动，其速度v(t)＝3t2－2t＋3，则它在2秒内所走的路程是________________________________________________________________________．2．如果1 N能拉长弹簧1 cm，为了将弹簧拉长6 cm，需作功()A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J3．物体作变速直线运动的速度为v(t)＝1－t 2，则它前两秒走过的路程为__________． 拓展练习4．由截面积为 4 cm 2的水管往外流水，打开水管t 秒末的流速为v(t)＝6t －t 2(cm/s)(0≤t ≤6)．试求：t ＝0到t ＝6秒这段时间内流出的水量．5．物体按规律x ＝4t 2(米)作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10米/秒时，阻力为2牛，求物体从x ＝0到x ＝2阻力所作的功．答案：1.10 2.A 3.2 4.144 cm 3 5.－25焦 设计说明通过物理学中变速直线运动的路程问题、弹簧作功问题，既可以加强学生对之前所学知识的进一步应用，又能让学生掌握如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决，突破本节课的难点，让他们体验到数学在现实生活中的灵活运用．通过相应的练习，让学生学会运用所学知识解决实际问题，将数学知识运用到生活中来．备课资料17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题，例如：如何求物体的瞬时速度与加速度，如何求曲线的切线及曲线长度(行星路程)、矢径扫过的面积、极大、极小值(如近日点、远日点、最大射程等)、体积、重心、引力等等．尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题．当时笛卡儿的《几何学》和瓦里斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大．牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术(微分)和反流数术(积分)，反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中．所谓“流量”就是随时间而变化的自变量，如x 、y 、s 、u 等，“流数”就是流量的改变速度，即变化率等．他说的“差率”“变率”就是微分．与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理．牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等.1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了拉长的S 作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学被迅速推广．(设计者：孙娜)实习作业走进微积分教材分析数学史已成为数学课程的有机组成部分，当前的数学课程改革需要数学史，数学教育的发展离不开数学史．通过对本节课的学习，让学生了解数学对推动社会发展的作用、数学的社会需求、社会发展对数学的推动作用、数学的思想体系、数学的美学价值、数学家的创新精神等，从而激发学生的学习兴趣．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标通过收集微积分创立的时代背景和历史意义的有关材料，了解微积分的研究对象及基本概念，体会微积分在数学思想史和科学思想史上的价值．过程与方法目标培养学生合作学习和自主学习的能力，提高自学能力．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神．重点难点重点：微积分创立的时代背景和历史意义．难点：体会微积分在数学思想史和科学思想史上的价值．教学方法问题驱动、自主探究、合作学习．教学过程引入新课微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，微积分中的基本概念有极限、导数、积分等，导数、定积分都是微积分中的核心概念．探究新知提出问题1：请同学们收集介绍“微积分”的有关书籍，了解微积分的研究对象以及微积分的基本概念．活动设计：两个学生一组，展示自己收集到的材料，并思考上述问题；必要时，允许合作、讨论、交流；教师巡视指导，及时发现问题，解决问题．活动成果：1．研究对象：微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支．2．极限：设函数f(x)在点x 0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论它多么小)，总存在正数δ，使得当x 满足不等式0<|x －x 0|<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)－A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当x →x 0时的极限．函数极限的通俗定义：设函数y ＝f(x)在(a ，＋∞)内有定义，如果当x →＋∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A ，则称A 为当x 趋于＋∞时函数f(x)的极限．记作limf(x)＝A ，x →＋∞.3．导数：导数是微积分中的重要概念，导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限．在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分．可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导．4．定积分：设函数f(x)在[a ，b]上有定义，任取分点a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ， 将[a ，b]分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1,2，…，n)，记Δx i ＝x i －x i －1(i ＝1,2，…，n)为每个小区间的长度，λ＝max 1≤i ≤a {Δx i }，并在每个小区间上任取一点ξi (x i －1≤ξi ≤x i )，得出乘积f(ξi )Δx i 的和式∑i ＝1n f (ξi )Δx i .若λ→0时，和式的极限存在，且此极限值与区间[a ，b]的分法及点ξi 的取法无关，则称这个极限值为函数f(x)在[a ，b]上的定积分，记为∫b a f(x)dx ，即∫b a f(x)dx ＝lim λ→0∑i ＝1nf (ξi )Δx i . 这里f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 叫积分变量，[a ，b]叫积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．若f(x)在[a ，b]上的定积分存在，则说f(x)在[a ，b]上可积．提出问题2：微积分的创立不仅是数学思想史上的里程碑，也是科学思想史上的里程碑．请同学们总结一下历史上对微积分创立和发展的一些重要评价．活动设计：学生自由发言．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出历史上对微积分的创立和发展的评价：微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力．微积分的创立绝不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的．应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼兹的工作也都是很不完善的．他们在无穷和无穷小量这个问题上其说法不一，十分含糊．牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼兹的也不能自圆其说．这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生．直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步地发展开来．提出问题3：微积分的创立具有悠久的历史渊源，请同学们介绍历史上我国和古代欧洲有关微积分思想的一些代表性工作．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”，包含着“无限细分，无限求和”的思想；再如，我国隋代赵州桥的37米的大石拱桥，用长方形条石砌成，包含了“以曲代直”的思想．提出问题4：微积分的创立有深刻的时代背景，当时的技术对数学提出了许多要求．请同学们通过收集欧洲文艺复兴到17世纪期间的社会、经济状况、科学发展、航运等情况，介绍他们对数学提出的要求．活动设计：学生独立思考，自由发言．学情预测：开始学生的回答可能不全面，随着学生的不断补充，逐渐趋于全面．活动成果：背景：十六世纪社会实践活动进入了一个新的时期，开普勒根据长期的天文观测资料，总结出行星运动的三大定律；伽利略发现了自由落体运动规律，即s ＝12gt 2，费尔马对极值的研究等等出现了许多新的发现．对数学提出的要求：到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力问题．十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献．课堂小结1．微积分创立的背景及意义．2．在数学思想史和科学思想史上的价值．。