向量中“三点共线”结论的推广及应用
一、引例：（1）在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →=______AB →+______AC →
（2）已知AP →＝43AB →，则OP →=______OA →+______OB → 结论：已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →
(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；
(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.
变式.已知A ，P ，B 是共线的三点，O 为面内任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，
若OP tOP '=u u u u v u u u v ，则tm tn +的值为_________
二、三点共线例题分析
例1．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，
求实数p 的值．
例2．如图，在△ABC 中，AN →＝13
NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211
AC →，求实数m 的值．
变式1．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别
交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，求m ＋n
的值．
变式2．如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，
设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．
变式3．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.
例3．已知O 是△ABC 内部一点，)(2PC PB AB +=，求△PBC 与△ABC 的面积之比．
变式1．已知O 为三角形ABC 内一点，且满足()1OA OB OC O λλ++-=u u u v u u u v u u u v u v ，若OAB ∆的
面积与OAC ∆的面积比值为13
，则λ的值为
变式2．已知P 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△AOB 与△AOC 的面积之
比．。