第三章 线性代数方程组的解法参考解答
1. 解：Gauss 列主元消去过程如下：
314712212320-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭
2213311
32()3314752
40
3337
14140333r r r r r r =+⨯=+⨯-⎛
⎫ ⎪- ⎪ ⎪→- ⎪
⎪ ⎪---⎝
⎭
233325337
31473147714
1471414003333
335
24004
2033
3r r r r r ↔=+⨯⨯⎛
⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭
⎪
-⎝
⎭
回代得： 321
42
x =
= ， 21x =，12x = 方程组的解为：1x = 2 ，2x = 1 ，3x = 0.5 。

2. 解：由=A LU 得：
L =100210321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- U =212030001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
-
由=Ly b 得：y = ( 6 , 6 , -1 )T 由Ux= y 得：x = ( 1 , 2 , 1 )T 上述过程也可以写成如下紧凑格式：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-5536184546212 → ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---1123603
26212 故得：1x = 1 ，2x = 2 ，3x = 1 。

3. (1) 解：根据的向量范数的定义计算∞
X
、1X 、2
X
如下：
∞
X
13
max 4i i x ≤≤== 3
11
7i
i x
==
=∑X
25=
=X
(2) 解：根据的范数的定义计算∞A
、1A 、F
A
如下：
2
12
1
3
max 4
i j
i j a ∞
≤≤===∑A
, 2
1
12
1
1max 2
i j j i a ≤≤===
∑A
4
F
=
=
A
谱半径()ρA 计算如下：
由 1
114
()()0114242
λλλλλ-
-=
=--=--E A 得：114λ=
，212λ=, 故1()2
ρ=A 通过上述计算结果可以看出谱半径与范数之间的关系为：()ρ≤A A 。

4. 解：上述迭代法对应的简单迭代格式为：
(1)1()1()()k k x x +--=-+-E B E B g ， 则迭代矩阵为1()-=-B
E B 由于B 为实对称矩阵，故其特征值均为实数。

设B 的特征值为λB ，则B
的特征值为1
1λ-B
， 故根据收敛条件有
1
11λ<-B
，即0λ<B
或2λ>B
5. 解：(1) Jacobi 迭代法的的收敛性证明如下：
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=022101220J B
322
1122J λλλλλ
--==E B
所以J B 的特征值为1230λλλ===，谱半径()01J ρ=<B ，故Jacobi 迭代法对任意初始向量都
收敛。

(2) 与Jacobi 对应的Gauss-Seidel 迭代法的的收敛性证明如下：
JGS 迭代法的选代矩阵为：
()1022023002JGS
--⎛⎫ ⎪
=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭
B D L U
其特征值为1230,2λλλ===，谱半径()21JGS ρ=>B ，所以
Gauss-Seidel 迭代法不是对任意初
始向量都收敛。

(3) 答：该说法不正确，由上述计算过程可以看出，Jacobi 迭代法收敛时，对应的Gauss-Seidel 迭代法有可能不收敛。

6. 解：(1) 收敛性证明：
因为系数矩阵按行严格对角占优，故Jacobi 迭代法及JGS 迭代法均收敛。

(2) Jacobi 迭代格式为：
(1)
()()1
23(1)()
()21
3(1)()()
312
212993
1118811188k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪⎪
⎪=++⎨⎪
⎪=--⎪⎩
取(0)(1,0,0)T =x ，迭代过程及结果列表如下：
4 0.9982398 1.0006963 -0.999249
5 0.006121
6 5 1.0000713 0.9998738 -1.0003071 0.0018315 6 1.0000061 0.9999705 -0.9999753 0.0003318 此时已有：(1)()
310k k +-∞
-≤x x ，故得方程组的近似解为：
*1x = 1.000 ，*2x = 1.000 ，*3x = -1.000 。

(3) JGS 迭代法的迭代格式为：
(1)
()()1
23(1)(1)
()213(1)(1)(1)
312
212993
1118811188k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪⎪
⎪=++⎨⎪
⎪=--⎪⎩
取(0)
(1,0,0)T =x
，迭代过程及结果列表如下：
此时已有：(1)()
310k k +-∞
-≤x x ，故得方程组的近似解为：
*1x = 1.000 ，*2x = 1.000 ，*3x = -1.000 。

7. 解：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
--
--
=023201
310a
a
a a a a J B
221312432J a
a
a a a
a
a
λ
λλ
λλλ
⎛⎫-=
=+ ⎪⎝⎭
-E B
易知0,2
32,1=±
=λλi a
,谱半径()a
J 2
=
B ρ． 由()1<J B ρ得 2>a 。

因此，当参数a 满足条件2>a 时，所给方程组的Jacobi 迭代法收敛。

8. 解：(1) 收敛性证明：
因为系数矩阵按行严格对角占优，因此当01ω<≤时，SOR 方法收敛。

(2) SOR 法的计算格式为
()()()()
()
()()()()()
()
()()()()
(
)
1112112213113
320.810.8140.810.8440.810.834k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x +++++⎧=-++⎪⎪⎪=-+
++⎨⎪
⎪=-+-+⎪⎩
取()()00,1,0T
=x ，计算得
此时已有：(1)
()
2102
k k +-∞
-≤
⨯x
x ，故得方程组的近似解为： *1x = 0.50 ，*2x = 1.00 ，*3x = - 0.50 。