第三章 插值法与最小二乘法1. 已知下列表值x 10 11 12 13 lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649用线形插值与二次Lagrange 插值计算ln11.75的近似值，并估计误差。

解：（1）线形插值说明：当插值点落在被插区间之内，这种方法称为内插法，此时插值精度较好。

x ],12,11[75.11∈=故选择x 0=11,x 1=12,求线形插值函数。

11001y x l y x l x P ⨯+⨯=∴）（）（）（=10100101y x x x x y x x x x ⨯--+⨯--=4849.21112113979.2121112⨯--+⨯--x x=2.4849（x-11）-2.3979（x-12）)1275.11(3979.2)1175.11(4849.2)75.11(75.11ln 1---=≈∴p =2.46315（2）二次拉格朗日插值选择插值结点：x 12,11,10210===x x P 2211002)()()()(y x l y x l y x l x ++= =212021012101200201021))(())(())(())(())(())((y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x ----+----+----=4849.2)1112)(1012()11)(10(3979.2)1211)(1011()12)(10(3026.2)1210)(1110()12)(11(----+----+----x x x x x x=1.1513（x-11）（x-12）-2.3979（x-10）（x-12）+1.24425（x-10）（x-11）)1175.11)(1011075(24245.1)1275.11)(1075.11(3979.2)1275.11)(1175.11(1513.1)75.11(75.11ln 2--+-----=≈∴P =1.15133125.124245.14375.03979.2)1875.0(⨯+⨯+-⨯ =2.4639282. 已知下列表值求f(x)在[0，2]之间零点近似值。

.解：由给定插值条件可作三次插值多项式P ()x 2即 P ()()()()()()()()()()()()()2120210121012002010212y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x ----+----+----==()()()()()()()()()181215.711282121-⨯-+--⨯-+-⨯---x x x x x x =2.58182+-x xf(x)在[0，2]之间零点可用P ()x 2在[0，2]之间零点近似，即P ()x 2=0亦2.58182+-x x =0。

适合条件的解x ]2,0[∈可得 x=0.4071216.3．给出f(x)=sin x 的等距节点函数表，如用分段线形插值计算sin x 的近似值，使其截距误差为0.5410-⨯，则其函数表的步长应取多大？ 解：由教材P80（3.6）式： Max|R 228|)(h M x i ≤,其中M k n k n b a x h h x f 10],[2max |,)(|max -≤≤∈==，h k k k x x -=+1),(,1||,sin )(,sin )()(''''+∞-∞∈≤-==x f x x f x x f x由（3.6）式知： Max 228|)(h M x i ≤|R,条件： Max ,105.0|)(4-⨯≤x i M |)(|max ''],[2x f b a x ∈==1即要求42108-⨯≤h ，02.01022=⨯≤∴-h 即可。

4.已知等距插值节点x 2,1,0,,13210==-<<<+i h x x x x x i i ,且f(x)].[3,04x x c ∈证明f(x)的Lagrange 插值多项式余项的误差界为 （1）二次插值的误差界 R |)(|max 273|)()(|max '''],[3222020x f h x P x f x x x x x x ∈≤≤≤-= （2） R |)(|max 241|)()(|max )4(],[4333030x f h x P x f x x x x x x ∈≤≤≤-=证明：由教材P77Th1,有R |)(|max |)!1()(|max |)()(|max 1],[)1(],[],[x w n x f x p x f n b a x n b a x n b a x n +∈+∈∈+≤-≤ （*）其中()()()()()n n x x x x x x x x x -⋅⋅⋅⋅⋅⋅---=+2101ω 对（1），n=2，由()*式有， R 2≤()()()()()()210]["][2][2,,,02,,,02,,,0max max !31max x x x x x x x f x P x f x x x x x x x x x ---≤-∈∈∈对()()()210][2,,,0max x x x x x x x x x ---∈]2,0[],,[100∈∴∈+=t x x x thx x 令]20[,,,max ∈t ()()321h t t t --由()()[].021'=--t t t 问02632=+-t t,6121±=t 可得6121-=t 代入可得，()()21max ]20[,,,--∈t t t t =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-26121161216121=392 []()|)(|max 273max 932!31|)()(|max '''],[3"',322202020x f h x f h x P x f R x x x x x x x x x ∈∈≤≤=⋅⋅⋅≤-=∴对()2，n=3,由()式有*：≤3R ()()()()3210],[)4(],[3303030max |)(|max !41|)()(|max x x x x x x x x x f x P x f x x x x x x x x x ----⋅≤-∈∈≤≤同上理，()()()()3210],[30max x x x x x x x x x x x ----∈[][]()()()43,00321max 3,0h t t t t t thx x ⋅---∈+=令 ∴|)(|max !41|)()(|max )4(],[4333030x f h x P x f R x x x x x x ∈≤≤≤-≤= 证毕！5所确Lagrange 插值多项式是一个二次多项式，该例说明了什么问题？解：取三点作二次Lagrange 插值。

()()()()()()()()()()()()()2120210121012002010212y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x P ----+----+----==12-x证明：直接由题条件做的()125-=x x P当被插函数是多项式且次数为n ，且经n+1个结点是可以确定该多项式，而多增结点不可改变这一结果，即，被查函数是n 次多项式，只须n+1个结点的值就唯一确定该多项式。

6用三次Newton 插值公式计算f(0.1581),f(0.6367),解：本题给出了六个结点值，而三次Newton 插值公式只须四个结点即可。

选定结点值系列：请求函数值结点x 在插值区间之中，即对x=0.1581。

选用结点：作均差表：()()[]()[]()()[]3210102100103,,,,,,x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N +--+-+=()()()210x x x x x x ---=0.79618-0.18272（x-0.125）+0.21728（x-0.125）（x-0.25）-0.26965（x-0.125）（x-0.25）（x-0.375）()()()()()()()()0.790615375.01581.0250.01581.0125.01581.0226965.0250.01581.0125.01581.021728.0125.01581.018272.077618.01581.01581.03=---------=≈∴N f 对()()[]()[]()()[]()()()21032101021001003,,,,,,x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N ---+--+-+=()()()()()()()()651495.0625.06367.0500.06367.0375.06367.017067.0500.06367.0375.06367.026336.0375.06367.031664.074371.06367.06367.03=---+-----=≈∴N f 7.求二次多项式()22x P ，使满足：()()()'11'2222102,,y x P y x P y x P ===其中，2211210x x x x x x +≠∧〈〈 解：设()22x P 是一元二次多项式，利用条件，得如下函数()()()()()202010,,1x x x x x x x x x --=-==ϕϕϕ而()22x P =A ()x 0ϕ+B ()x 1ϕ+C ()x 2ϕ =A+B ()0x x -+C ))((20x x x x --由条件， ()()02212221102.x x y y B y x P y A y x P --====得又得()()()()20121011'2'12x x x C B x x C x x C B x P y --+=-+-+==再)2)(()()(2201021202'1201'1x x x x x y y x x y x x x B y C ------=---=得 ()证明个不同的实根有若,,,.8211110n n n n n x x x n x a x a x a a x f ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=--()=∑=nj jjx f x 1'"a 1-n20-≤≤n k1-=n k证明：设())(1021112210a a x a ax a a x a x a x a x a a x P n n n nn nn n ++⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=-- =()()()n n x x x x x x a -⋅⋅⋅--21 令()(),1k n k x x x -==ππ ()()k i nik k x x x -=≠=1'ππ()()()k nk nn n x x a x a x P -==∴=1ππ()()()k i nik k n i n nx x a x a x P -==≠=1''ππ又令()()k i i k x x g x x g ==,由均差的性质，[]()()()∑∑====⋅⋅⋅n j jkj nj j i n x x x x g x x x x g 1'1'321,,,ππ 又 []n x x x x g ⋅⋅⋅,,,321是n-1阶均差，由均差性质，若g(x)是k 次多项式。