定积分曲面积分开曲面闭合曲面Ⅰ型曲面积分Ⅱ型曲面积分曲线积分开曲线闭合曲线Ⅰ型曲线积分Ⅱ型曲线积分第 1 页重积分三重积分二重积分累次积分三次积分二次积分多元函数积分学计算方法总结第 2 页第 3 页多元函数积分学计算方法总结 .................................. 错误!未定义书签。

累次积分 (4)★A1[积分限是常数的二次积分⎰⎰dcbay y x f x d ),(d ] (4)★A2 [积分限含函数的二次积分⎰⎰)()(d ),(d x D x C b ay y x f x ] (4)重积分: (5)★B1 [积分区域为矩形的二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(] .......................... 5 ★B2 [积分区域为平面区域的二重积分(,)d d f x y x y Λ⎰⎰] ..................... 5 ★B3 [积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(]..................................................... 6 ★B4 [收敛的广义重积分] .............................................. 6 曲线积分: (6)★C1 [I 型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(] (6)★C2 [II 型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d ] (7)★C3 [全微分式II 型曲线积分»d d d ABP x Q y R z ++⎰] (7)★C4 [平面闭曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰] (7)★C5 [平面非闭合曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰] .............曲面积分: ......................................................★D1 [I 型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰] .............................★D2 [直角坐标系的II 型曲面积分d d d d d d SP y z Q z x R x y ++⎰⎰] ......★D3 [向量式的II 型曲面积分d S⎰⎰F S ] ..........................★D4 [闭曲面情形的曲面积分] .................................★D5 [开曲面情形的曲面积分] .................................★D6 [循环常数] .............................................约定:a ,b ,c ,d 为已知常数, ,,,αβγδ是已知的弧度, ,,x y z 是原空间直角坐标系分量,,,u v w 是新变量同时也是变量代换函数记号, ,,ρθφ是球坐标\极坐标\柱坐标系的分量, (),(),(),()A B C D ⋅⋅⋅⋅是积分限函数, (),(),()f g h ⋅⋅⋅表示积分函数, ω表示现有变量的全微分, (),(),()P Q R ⋅⋅⋅是场向量函数F 的分量,均为(,,)x y z 的函数.L 表示空间曲线,Λ表示空间曲面,Ω表示空间区域,∂表示取上述区域的边界或变量的偏微分. Γ是带方向的曲线, S 是带方向的曲面区域, S (黑斜体)是法向量或者说曲面积分元. 累次积分二次积分⎰⎰ba dc x y y x fd )d ),((也写作⎰⎰dc ba y y x f x d ),(d ;三次积分z z y x f y x pqd cb ad ),,(d d ⎰⎰⎰★A1[积分限是常数的二次积分⎰⎰dcbay y x f x d ),(d ]求法: ⎰dc y y x fd ),(先求,把x 当作常数,只对y 求原函数并求出积分值g (x )(可能和x 无关).然后将它作为新的被积函数,也就是计算⎰ba x x g d )(，即可得到累次积分的积分值.result x x g y y x f x badcb a==⎰⎰⎰d )(d ),(d性质:①分量积分顺序改变,积分值不变;①⎰⎰⎰⎰=badc dc ba x y x f y y y x f x d ),(d d ),(d ;②分离分量因子后分别积分的乘积等于原积分值;②)d )(()d )((d )()(d ⎰⎰⎰⎰⋅=⋅dc ba dc ba y y g x x f y y g x f x ③被积函数可加性.③⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+dc ba dc ba dc ba y y x g x y y x f x y y x g y x f x d ),(d d ),(d d )),(),((d★A2 [积分限含函数的二次积分⎰⎰)()(d ),(d x D x C bay y x f x ]求法:先将x 看成常数,求出f 关于y 的原函数g (y )(可能含有x );再将))(())((x C g x D g -作为关于x 的新的被积函数;最后算出定积分的值.⎰⎰⎰=-=bax D x C b aresult x x C g x D g y y x f x d )))(())(((d ),(d )()(重积分:二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(;三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(★B1 [积分区域为矩形的二重积分⎰⎰Λy x y x f d d ),(]求法:把积分区域Λ的矩形化为区间的乘积的形式[a ,b ]×[c ,d ],被积函数不变,区间端点按分量顺序作为二次积分的积分限.积分区域为长方体的三重积分求法类似.],[],[,...d ),(d d d ),(d c b a result y y x f x y x y x f dcb a⨯=Λ===⎰⎰⎰⎰Λ★B2 [积分区域为平面区域的二重积分(,)d d f x y x y Λ⎰⎰]求法:定下分量的积分顺序,如先y 后x ,那么先写出Λ中所有点的x 分量的最小值a ,最大值b ,以取得上述最值的点为端点,将Λ的边界分成下半边界C (x )和上半边界D (x ).那么可以化为被积函数不变,先对积分区间为从C (x )到D (x )的y 分量积分,再对积分区间为[a ,b ]的x 分量积分的二次积分.积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分也有类似的方法.)]}(),([],,[|),{(,...d ),(d d d ),()()(x D x C y b a x y x result y y x f x y x y x f x D x C b a∈∈=Λ===⎰⎰⎰⎰Λ)]},(),,([)],(),([],,[|),{(,d ),,(d d d d d ),,()()(),(),(y x D y x C z x B x A y b a x y x z z y x f y x z y x z y x f x B x A y x D y x C ba∈∈∈=Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω性质:①变量代换后积分值不变;(,)(,)d d ((,),(,))d d ,(,)x y f x y x y f u x y v x y u v u v ΛΛ∂=⋅∂⎰⎰⎰⎰①%(,),(,)det (,),(,)u vu v x x u u x y x y y y v v x y u v ''=⎛⎫⎧∂=⎨⎪''=∂⎩⎝⎭变换为,.ΛΛ是由的不等式根据变量代换改写并加上新变量的限制%如极坐标变换cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩故有新的限制0,||ρθπ≥≤(,)d d ((,),(,))d d f x y x y f x y x y ρθρρθΛΛ=⋅⎰⎰⎰⎰%;球坐标变换cos cos ,sin cos ,sin ,x y z ρθϕρθϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故有新限制0,,2πρθπϕ≥≤≤,(,,)d d d ((),(),())cos d d d f x y z x y z f ρθϕρϕρθϕΩΩ=⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰%.②积分值与积分顺序无关,但对应的累次积分不同; ②()d ()()()(,)d d d (,)d d (,)d ,b D x B x aC x cA x f x y x y x f x y y y f x y x Λ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰{(,)|[,],[(),()]}{(,)|[,d],[(),()]}x y x a b y C x D x x y y c x A y B y Λ=∈∈=∈∈③零函数或零测度集Λ上的重积分必为零.③三重积分的积分区域若是面、线、点,则积分值为零,二重积分的积分区域是线、点时,积分值为零.★B3 [积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分⎰⎰⎰Ωz y x z y x f d d d ),,(]求法:定下分量的积分顺序,如先(y ,z )后x ,那么先解出Ω的不等式(组)关于g (y ,z )的解)](),([x B x A ,即有平面区域Λ.继而有被积函数不变,视x 为常数,关于(y ,z )的二重积分,随后做关于x 分量的第二次积分.类似的积分顺序也可以是先(x , y )后z .}),(],,[|),,{()]},(),([),(|),{(,d )(d d ),,(d d d d ),,(Λ∈∈=Ω∈=Λ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΛΩz y b a x z y x x B x A z y g z y result x x h z y z y x f x z y x z y x f bab a★B4 [收敛的广义重积分]求法:只要广义重积分是收敛的,就可以按照一般重积分的求法求得收敛值. 曲线积分:Ⅰ型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(;Ⅱ型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d★C1 [I 型曲线积分⎰Ls z y x f d ),,(]求法:首要任务是将积分曲线L 的方程参数化,用参数t 表示,并且表示出积分区间.将参数方程代入被积函数,弧微分d s 按公式计算即可得到定积分.(,,)d ((),(),(,{(,,)|(),(),(),[,]}baLf x y z s f x t y t z t t result L x y z x x t y y t z z t t a b ======∈⎰⎰★C2 [II 型曲线积分⎰++Lz R y Q x P d d d ]求法:将积分曲线L 的方程参数化,用参数t 表示,并且表示出积分区间.函数P ,Q ,R 中的变量换为t 后乘上对应分量关于t 的导数作为新的被积函数,做关于t 的积分.但注意这里的曲线是有向的,右手法则下逆时针取正,顺时针取负.()d d d ()()()d ,{(),(),()},:bt t t aLP x Q y R z P t x Q t y R t z t result L x t y t z t t a b '''++=±⋅+⋅+⋅==→⎰⎰★C3 [全微分式II 型曲线积分»d d d ABP x Q y R z ++⎰]求法:若P Q y x ∂∂=∂∂(二元), P Rz x∂∂=∂∂,且Q R z y ∂∂=∂∂则该空间曲线微分是全微分式(恰当)的.对微分形式凑微分得到原函数F ,再代入积分区间即可得结果.注意这里曲线也是有方向的.»d d d d (,,)(,,),d d d d BBA AABP x Q y R z F x y z F x y z result F P x Q y R z ++=±=±==++⎰⎰其中★C4 [平面闭曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰]求法:对场向量的分量函数P ,Q 求全微分,形如d d d P PP x y x y∂∂=+∂∂,并与原对应分量取外微分,作为二重积分的微分形式.二重积分的区域是以L 为边界的曲面.d d (d )d (d )d d d (,)d d ...,L P Q P x Q y P x Q y x y f x y x y result L y x ΛΛΛ⎛⎫∂∂+=∧+∧=-+====∂Λ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ★C5 [平面非闭合曲线的II 型曲线积分d d LP x Q y +⎰]求法:补上一条连接端点的线段AB ,然后以L AB ⋃u u u r作为闭曲线化为二重积分,并加上的反方向的AB 的曲线积分.d d ()(d d )(,)d d d d ...,AABBLL ABP x Q y P x Q y f x y x y P x Q y result L AB Λ⋃+=++=++==⋃=∂Λ⎰⎰⎰⎰⎰⎰u u u v u u u v性质:①被积函数曲面与区域公用对称轴/对称面时,前者在后者两侧(奇),则积分值为零,前者在后者的同侧(偶),则积分值等于积分区域取一半的积分值的两倍.②函数中的分量交换后函数相似的,积分值相等. 曲面积分:Ⅰ型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰;Ⅱ型曲面积分:直角坐标式d d d d d d SP y z Q z x R x y ++⎰⎰;向量式d S⎰⎰F S★D1 [I 型曲面积分(,,)d Sf x y z S ⎰⎰]求法:先针对S 求出参数方程,分别对曲面向量求关于某两个变量的偏导向量函数(可以是原来的变量,也可以代换成其他变量),然后取这两者的外积的模,便可以得到普通的二重积分.(,){(,),(,),(,)},(,){,,},{,,}(,,)d ((,),(,),(,))d d ...u v u v SDS r u v x u v y u v z u v u v Dx y z x y z r r u u u v v vf x y z S f x u v y u v z u v r r u v result≡=∈∂∂∂∂∂∂''==∂∂∂∂∂∂''=⋅⨯==⎰⎰⎰⎰ru r u r u r u r性质:当S 为变量的隐式时,替换成其中两个变量时,法向量模可以用偏导的模来取代. ★D2 [直角坐标系的II 型曲面积分d d d d d d SP y z Q z x R x y ++⎰⎰]求法: 这种方法是将三部分分开计算的.若积分曲面是闭合的,且积分方向是曲面的内侧或外侧,则先将曲面合理分割.再确定曲面积分方向和曲面投影方向的关系,如计算d d SP y z ⎰⎰的时候,若yzD是S 从x 轴负方向投向yOz 面的投影,且积分方向是向x 轴正方向,则定积分取正号.接下来确定投影区域D ,将S 的关于x (或y 或z )的显式并代入P (或Q 或R )中作为新的被积函数.(II)d d ((,),,)d d ...yzSD P y z P x y z y z y z result =±==⎰⎰⎰⎰★D3 [向量式的II 型曲面积分d S⎰⎰F S ]求法: 先针对S 求出参数方程,分别对曲面向量求关于某两个变量的偏导向量函数(可以是原来的变量,也可以代换成其他变量),然后取这两者的外积(即关于曲面S 上得每一点的法向量函数).将它和场向量{,,}P Q R =F 取内积作为新区域D 下的二重积分的被积函数.d {,,}()d d ...u v SDP Q R r r u v result ''=⋅⨯==⎰⎰⎰⎰u r u rF S★D4 [闭曲面情形的曲面积分] 求法:★D5 [开曲面情形的曲面积分] 求法:★D6 [循环常数] 求法:希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。