成都市示范性高中高2012级（高三）12月月考数学试题文科一、选择题：本大题每个小题只有一个正确答案，共10小题，每小题5分，共50分。

1、复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( D ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2、在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( A )A. 30oB. 45oC. 60oD. 75o3、已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S （ D ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 4、若某程序框图如下图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ A ）A ．63B ．31C ．127D ．155、若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切， 则m ＝( C )A ．21B ．19C ．9D ．－116、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B )A.16B.36C.13D.337、已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ B ）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+8、已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( C )A ．5B ．29C ．37D ．499、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于（ B ） A43 B 33 C 42 D 3210、)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 （ A ） (A)b a c <<(B) c a b << (C) c b a << (D) a b c <<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分。

11、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ={}2,1,0,1-.12、已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则1013、已知向量a (2,1)=，向量)4,3(=b ，则a 在b 方向上的投影为__2_。

14、已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f _4028_. 15、已知下列五个命题：①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的21，其体积缩小到原来的41； ②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等； ③直线01=++y x 与圆2122=+y x 相切；④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线l 与椭圆2212x y +=交于P 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于－12其中真命题的序号是：_135____三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）已知函数21()3sin cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间及对称轴的方程； （Ⅱ）若()1,f B C +=3,1a b ==，求角C 的大小.解：（I ）因为21()3sin cos cos 2222x x x f x =+-3cos 1sin 2223sin cos 2121x x x x =+-=++ πsin()6x =+令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ 对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A = 由正弦定理sin sinB Ab a=把3,1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =17、（本小题满分12分）成都海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C 数量50150100(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.18、（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）证明：BN ⊥平面C 1B 1N ；（2）求点的距离到面N C 11CB18.解（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.4448侧视图俯视图正视图ABCNB 1C 1则为直角内，易证，且在面11111BNB N ABB N ABB ∠⊥C B错误！未找到引用源。

N ABB BN 1111面且面⊂⊥N ABB C B 错误！未找到引用源。

,BN C B ⊥∴11错误！未找到引用源。

11111B C B N B N B BN =⊥ ，且又错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

N B C BN 11面⊥∴(2)由等体积法364448312121111111=⨯⨯⨯⨯===---C CBB N C CB N CNB C V V V ,错误！未找到引用源。

364311=∆h S CNB 则364641==∆CNB S h19、(本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：11a =，1221,N n n a a n *+=+∈.数列{}n b 的前n 项和为n S ，219,N 3n n S n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，N n *∈.求数列{}n c 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ）由1221n n a a +=+得11,N 2n n a a n *+-=∈，又11a =， 所以{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列，则11(1)2n n a a n d +=+-=，N n *∈. 当1n =时，1211196,3b S -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭当2n ≥时，31193n n S --⎛⎫=- ⎪⎝⎭，231211299333n n n n n n b S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又1n =时12263n b -==，所以223n n b -=，N n *∈.（Ⅱ）由（Ⅰ）知12n n a +=，223n n b -=，N n *∈，所以21(1),N 3n n n n c a b n n -*⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.所以10121111234(1)3333n n T n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)等式两边同乘以13得012111111234(1)33333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)(1)-(2)得10121112111112(+1)3333331113=6+(+1)1313n n n n n T n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-所以245251,N 443n n n T n -*+⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.20、（本小题满分13分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，且22ab k k OB OA -=⋅求证：AOB ∆的面积为定值解：（Ⅰ）由题意得，|006|32b -+==，12c a =，又222a b c +=，联立解得224,3a b ==，∴椭圆的方程为13422=+y x .（Ⅱ）设)(1,1y x A ，)(2,2y x B 则A,B 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧+==+mkx y y x 13422 消去y 化简得，()0124843222=-+++m kmx x k∴221438k km x x +-=+，222143124km x x +-= ，0>∆得03422>+-m k 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++= =2222222243123)438(43124kk m m k km km k m k +-=++-++-。