高中阶段，经常讨论抽象函数，即只关注函数的性质。

今天我们介绍利用递推法来求抽象函数的周期，同学们可以类比数列中相应的方法，深入理解，灵活应用。

我们知道在数列中，有许多递推关系，比如1n n a a d +-=，说明它是一个等差数列。

如果我们再得知1a 的值，则可推导出数列的通项公式。

相似地，我们通过例题来看递推法求抽象函数的周期。

先看例题
例：已知函数()()f x x R ∈满足：(1)()(2)f x f x f x +=++，证明f (x )是周期函数 证明(1)()(2)f x f x f x +=++Q
令x =x +1，再次使用递推式
(2)(1)(3)f x f x f x ∴+=+++
两式联立可得：
()(3),f x f x =-+再令x =x +3，可知(3)(6)f x f x +=-+
所以(6)()f x f x +=
注意：当题中给定的已知条件可以递推时，多次递推可使问题获解。

回忆：
()()f x a f x +=-
1()()
f x a f x +=
1()()
f x a f x +=- 都可以整理为：()=()f x f x T +的形式
之前我们介绍过上述两类函数是周期函数，当递推式转化为如下形式时，可以判定原函数为周期函数。

练：已知定义在R 上的函数f (x )满足11()()
1)(f x f x f x ++=
-，则f (x )必有一周期为（） A.2 B.3 C.4 D.5 解：令x =x +1，再次使用递推式
1(1)(2)1(1)
f x f x f x +++=-+ 将原递推式代入上式：
1()11(1)1()(2)1()1(1)11()f x f x f x f x f x f x f x +
+
++-+==+
-+-- 整理得到1(2)()
f x f x +=-，根据上面复习的公式，直接可以得到 (4)()f x f x +=
即原函数是周期函数，且周期为T =4
注意：本题不必去计算(3)f x +的值，可以直接根据周期函数的特点，选取合理的公式进行计算，降低运算量。

总结：
1.根据递推公式求函数周期，往往需要根据条件多次递推，解决问题。

2.要熟练掌握周期函数的特性，将递推式合理的进行转化。

3.注意得出周期函数的三个关键等式，合理运用，降低运算量。

练习：
1.已知函数()()f x x R ∈满足(1)()(2)f x f x f x +=++，且()() 11,22010f f ==，则()()()()1232009f f f f +++⋯+=
2.设f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R
，都有1(1)2
f x +=+1
(1)2f -=，求f (2005)的值
答案：
1.(6)(),f x f x +=
()()()()()()()()()()200963345,
12320091234532009
f f f f f f f f f f =⨯++++⋯+=++++==
2.
解：1
(2)2f x +=
=12+
1
2=+
1
1
|()|22f x =+-
又1
1
()[(1)1]22f x f x =-+= 所以1
1
(2)[()]()22f x f x f x +=+-= ()()()()()()1234560f f f f f f +++++=
所以f(x)是以2为周期的周期函数
所以
1 (2005)(210031)(1)
2 f f f
=⨯-=-=。