函数的奇偶性专题复习
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：
⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；
⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；
二、函数的奇偶性的几个性质
①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，
判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；
②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
（1）x x x f 2)(3+= （2）2
432)(x x x f += （3）1)(2
3--=x x x x f
（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x
=+.
例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；
两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；
奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的6个结论.
结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。

结论3 )(x f 是任意函数，定义域关于原点对称，那么)(x f 是偶函数。

结论4 函数)()(x f x f -+是偶函数，函数)()(x f x f --是奇函数。

结论5 已知函数)(x f 是奇函数，且)0(f 有定义，则0)0(=f 。

结论6 已知)(x f 是奇函数或偶函数，方程0)(=x f 有实根，
那么方程0)(=x f 的所有实根之和为零；
若)(x f 是定义在实数集上的奇函数，则方程0)(=x f 有奇数个实根。

五、关于函数奇偶性的简单应用（各种类型题）
1.利用定义解题
例1：已知1()21
x f x a =-+为奇函数，则a =________。

已知21()(32)()
x f x x x a +=+-为偶函数，则 ________。

2.利用奇偶性，求函数值
例2：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，求)2(f 的值
3.利用奇偶性比较大小
例3（1）已知奇函数)(x f 在R 为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。

（2）已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，
若()()2f a f ≥-，求a 的取值范围.
**（3）定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.利用奇偶性求解析式
a =R ()x f ()+∞,8()8+=x f y ()()76f f >()()96f f >()()97f f >()()107f f >
例4：（1）已知)(x f 为偶函数，时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)
(x f 解析式？
（2）已知()f x 为奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，当0x <时，求)(x f 解析式？
5.利用奇偶性讨论函数的单调性
例5：若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？
6.利用奇偶性判断函数的奇偶性
例6：已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇
偶性。

7.利用奇偶性求参数的值
例7：（1）定义R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f 恒成立，求a 的范围.
（2）定义R 上单调递减的奇函数()f x 满足对任意t R ∈，若22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.
8.利用图像解题
例8：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当
x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式()0<x f 的
解是 .
（2）若函数()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞上为奇函数，
且在(0,)+∞上单调递增,(2)0f -=,则不等式()0xf x <的解集为 .
9.利用性质选图像
x 0 y
1 x 0 y 1 x 0 y 1 x
0 y 1 例9：（1）设1a >，实数,x y 满足1||log 0a x y
-=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是（ ）
A B C D
（2）函数x x x x e e y e e --+=-的图象大致为
奇偶性专题训练
1.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
2.已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）
A ．3
1=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3.如果定义在区间]5,3[a -上的函数)(x f 为奇函数，则a =
4.若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．
5.若a x f x x lg 22)(--=为奇函数，则实数=a ．
6.函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 ．
7.已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）
A ．－26
B ．－18
C ．－10
D ．10
8.已知函数=-=+-=)(.)(.11lg
)(a f b a f x
x x f 则若 A ．b B ．－b C ．b 1 D ．－b 1
9.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于（ ）
A. x 轴对称
B. y 轴对称
C. 原点对称
D. 以上均不对
10.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________
11.下列四个函数中，是奇函数且在定义域上不是单调函数的是（ ）
A ．3y x =
B ．y =
C ．1y x =
D ．1()2
x y = 12.若函数(1)()()x x a f x x ++=
为奇函数，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1
D ．2 13.设函数(),()f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A ．()()f x g x 是偶函数
B ． )(|)(|x g x f 是奇函数
C ．|)(|)(x g x f 是奇函数
D ． |)()(|x g x f 是奇函数
14.定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围。

15．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，
若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．
16. 若f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
17.设函数y＝f（x）（x R且x≠0）对任意非零实数x、y满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），
求证f（x）是偶函数．
18.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）
A．y＝x（x－2）B．y ＝x（｜x｜－1）
C．y ＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）
19.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R 上的表达式．。