函数的奇偶性专题复习
函数的奇偶性专题复习
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数)(xf的定义域内任意一个x：
⑴)()(xfxf )(xf是偶函数；
⑵)()(xfxf)(xf奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质
①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；
③可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf是奇函数；
④等价性：)()(xfxf0)()(xfxf；)()(xfxf0)()(xfxf
⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(xf是否与)(xf、)(xf 相等，
判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；
②数量关系)()(xfxf哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

（1）xxxf2)(3 （2）2432)(xxxf （3）1)(23xxxxf

（4）2)(xxf 2,1x （5）2211)(xxxf （6）221()lglgfxxx.
例2：判断函数)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的
定义域交集不为空集）：
两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；
两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；
奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的6个结论.
结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为
奇函数或偶函数的必要不充分条件。

结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函
数的和仍是偶函数。

结论3 )(xf是任意函数，定义域关于原点对称，
那么)(xf是偶函数。

结论4 函数)()(xfxf是偶函数，函数)()(xfxf是奇
函数。

结论5 已知函数)(xf是奇函数，且)0(f有定义，
则0)0(f。

结论6 已知)(xf是奇函数或偶函数，方程0)(xf有
实根，

那么方程0)(xf的所有实根之和为零；
若)(xf是定义在实数集上的奇函数，则
方程0)(xf有奇数个实根。

五、关于函数奇偶性的简单应用（各种类型题）
1.利用定义解题

例1：已知1()21xfxa为奇函数，则a________。
已知21()(32)()xfxxxa为偶函数，则 ________。
2.利用奇偶性，求函数值
例2：（1）已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，求)2(f的值

a
x
0
y
1
x 0 y 1 x 0 y 1 x
0

y

1

（2）定义R上单调递减的奇函数()fx满足对任意tR，若
22
(2)(2)0fttftk
恒成立，求k的范围.

8.利用图像解题
例8：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当
x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式0xf的
解是 .

（2）若函数()fx在(,0)(0,)上为奇函数，
且在(0,)上单调递增,(2)0f,则不等式()0xfx的解集
为 .

9.利用性质选图像
例9：（1）设1a，实数,xy满足1||log0axy，则y关于x的函数的图像形状大
致是（ ）

A B C D
（2）函数xxxxeeyee的图象大致为

奇偶性专题训练
1.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx
（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则
（ ）
A．31a，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0
3.如果定义在区间]5,3[a上的函数)(xf为奇函数，则a=
4.若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．
5.若axfxxlg22)(为奇函数，则实数a ．
6.函数cbxaxy2是偶函数的条件是 ．
7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ）
A．－26 B．－18 C．－10 D．10

8.已知函数)(.)(.11lg)(afbafxxxf则若
A．b B．－b C．b1 D．－b1
9.若函数)(xf是定义在R上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于
（ ）
A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对

10.已知函数)(xfy在R是奇函数，且当0x时，xxxf2)(2，则0x时，
)(xf
的解析式为_______________
11.下列四个函数中，是奇函数且在定义域上不
是单调函数的是（ ）
A．3yx B．yx C．1yx

D．1()2xy
12.若函数(1)()()xxafxx为奇函数，则a（ ）
A．1 B．0 C．1 D．
2
13.设函数(),()fxgx的定义域为R，且()fx是奇函数，
()gx
是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．()()fxgx是偶函数 B． )(|)(|xgxf是
奇函数
C．|)(|)(xgxf是奇函数 D． |)()(|xgxf是
奇函数
14.定义在]11[，上的函数)(xfy是减函数，且是奇函数，若
0)54()1(2afaaf
，求实数a的范围。

15．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，
若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

16. 若f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，
＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予
证明．

17.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x、y满足f（x·y）＝f（x）
＋f（y），
求证f（x）是偶函数．

18.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）
在R上的表达式是（ ）
A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1）
C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2）

19.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x
2
—1，求f（x）在

R上的表达式．