n m n m n
例 证明
1、 C
m n1
C
n n1
m 1 n
C
m n1
C
m 1 n1
n1 n m 1
2、 C C
n n

C
n n m
C
补充例题：
（）计算 1 C C C C ； （2）计算C C C C ；
0 4 2 2 1 5 2 3 2 6 2 4 9 13 2 10
（3）求证：C C C
n n n n1
n n2
C
n n＋m
C
n1 nm1
.
例１
(1)
计算：
C
3 100
C
3 99
C 99; 100 9 9 9 8
3
2
( 2)
2C
3 8
3 2 1
2
161700
C 9C 8 .
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
2 C ( C C ) C C 56
例2 求证: m m 1 m m 1 ( 1 ) C n 1 C n C n 1 C n 1 ;
2C C . m 1 m 1 m (2) C n C n 2C n m m 1 m 1 m m m 1 m 1 ( 1 ) (C n C nC n(1C nC C n C 1 n ) n) m 1 m m 1 m C n CC n n 1 1 Cn m m 1 C n C n1 . 2.
5 5
2!
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？ 解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C C C C C C 63
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质2
证明:
m n
n! n! m! ( n m )! ( m 1)![ n ( m 1)]! n! ( n m 1) n! m ( n m 1 m ) n! m! ( n m 1)! m! ( n 1 m )! ( n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m ]!
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有
C C
1 2 2 98
C C 9506
1 2 2 98
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1
A C C 解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
6 4
2
2
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.
1 3 2 6 1 2 2 4
( C C ) ( C C ) 1 540
四、分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
C C
c n 1 c n c n
m 1 n
m
m
m 1
组合数性质2：
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
说明： 1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 5 解:采用“隔板法” 得: C29 4095
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
C 35
4 7
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2) (n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
跟踪练习 2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子 内． (1)共有几种放法？ (2)恰有1个空盒，有几种放法？
解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起， 有 C2 4种不同的取法， 再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆， 并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A3 4种不同的放法．根据分步乘法 3 计数原理，不同的放法共有 C2 4A4＝144(种)．
(5)分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本，有多少种不同的 分堆方法？
(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
解析：(1)在 6 本书中，先取 2 本给甲，再从剩下 4 本书 2 2 中取 2 本给乙，最后 2 本给丙，共有 C2 · C C2＝90(种)． 6 4· (2)6 本书平均分 3 堆，用上述方法重复了 A3 3倍，故共有 2 2 C2 · C C2 6 4· ＝15(种)． A3 3 (3)从 6 本书中，先取 1 本作一堆，再在剩下的 5 本中取 2 3 2 本作一堆，最后 3 本作一堆，共有 C1 · C C3＝60(种)． 6 5· (4) 在 (3) 的分堆中，甲、乙、丙 3 人各取 1 堆，共有 2 3 3 C1 · C C3· A3＝360(种)． 6 5· (5)平均分堆要除以堆数的全排列数， 不平均分堆则不除， 1 1 4 C6· C5· C4 故共有 ＝15(种)． A2 2 (6)本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有 A6 6＝720(种)．
97 98 96 98 95 98
2
4、求C2+C3+C4+C5+C6+…+C100的值
2
2
2
2
2
小结
1.组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
mபைடு நூலகம்n
2.组合数性质:
m n m n1
⑴ C C m1 ⑵ C C Cn
m 出m个元素的组合数是Cn 1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 ,
, an1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 ,
, an1这n个元素中取出
m m个元素组成的，共有Cn 个
二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排， 由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的 空位， 进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯， 有C83种方法， 故选A．
10 9 8 7 210 4!
巩固练习
1．方程 C C
x 28
3 x 8 28 的解集为（
D
）
A ． 4
B ． 9 D ． 4,9
8 n ，则
C ．
2．若 C
10 n
C
C 的值为
n 20
190
巩固练习 3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法 5 4 3 2 的种数是 10 C C 10
17-11=6 有6个2步的， 17次中挑6次走2步C（6，17）=12376种
课堂练习： 3、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
（1）矩形的话用C（7,2）*C（4,2）在两边任意取两点 即可 （2）正方形的话,首先,只由一个小正方形组成的有7*4 由2*2小正方形组成的有6*3 由3*3小正方形组成的有5*2 由4*4小正方形组成的有4*1 所以7*4＋6*3＋5*2＋4*1=60
三、混合问题，先“组”后“排 1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和 1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有 1人参加， 则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
C C C A 1080
3 5 1 3 2 4 3 3
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生 体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方 法共有多少种?
从引例中可以发现一个结论：C 3
8
C7 C7
2
3
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C C
2 7
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
一般地，从a1 , a2 ,
, an1这n 1个不同的元素中取