⎠⎝
+
∂Vy ∂x
⎞ dx ⎟
⎠
(τ xxVx
) x + dx
=
⎛ ⎜⎝
τ
xx
+
∂dτ xxx
∂x
dx
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
Y
Vx
+
∂Vx ∂x
dx
⎞ ⎟⎠
dy
第四节：流变学的基础方程
（4）重力做功
ρ
G g
G •V
( ) ( ) ∂ρ E = −∇ •
G
E ρV
G −∇•q +∇•
G
V •[τ ]
+
ρ
G g
四、流变状态方程 1、牛顿流体的本构方程 （1）普适（广义）牛顿流体的本构方程
( ) τ ij
=
ηγij
+
⎛ ⎜⎝
k
−
2η
3
⎞ ⎟⎠
G ∇ •V
δ ij
第四节：流变学的基础方程
四、流变状态方程 1、牛顿流体的本构方程 （2）普适（广义）牛顿流体本构方程的特殊形式
G 不可压缩流体∇：•V = 0
τ ij = ηγij
∂Vy ∂z
⎞ ⎟ ⎠
=
−
∂P ∂y
+
⎛ ⎜ ⎝
∂τ xy
∂x
+
∂τ yy
∂y
+
∂τ zy
∂z
⎞ ⎟+ ⎠
ρ gy
ρ
⎛ ⎜ ⎝
∂Vz ∂t
+ Vx
∂Vz ∂x
+Vy
∂Vz ∂y
+ Vz
∂Vz ∂z
⎞ ⎟ ⎠
=
−
∂P ∂z
⎛ +⎜
⎝
∂τ xz
∂x
+
∂τ yz
∂y
+
∂τ zz
∂z
⎞ ⎟+ ⎠
ρ gz
第四节：流变学的基础方程
⎠
Y
第四节：流变学的基础方程
（3）应力做功 X
τ xxVx τ xyVy τ xzVz
Z
( ) τ xzVz
x + dx
=
⎛ ⎜⎝
τ
xz
+
∂τ xz
∂x
⎞⎛ dx ⎟⎠ ⎜⎝Vz
+
∂Vz ∂x
dx
⎞ ⎟⎠
dVs
dz
( ) τ xyVy
x + dx
=
⎛ ⎜
τ
xy
⎝
+
∂τ xy
∂x
⎞⎛ dx ⎟ ⎜Vy
Polymer Processing Engineering
Mao Lixin Beijing University of Chemical Technology
第一章：聚合物加工流变学基础理论简介
第一节 引言 第二节 流变学的数学基础 第三节 流变学的基本概念 第四节 流变学的基础方程 第五节 流变学基础方程的初步应用
第四节：流变学的基础方程
二、运动方程（动量方程）
ρ
⎛ ⎜ ⎝
∂Vx ∂t
+ Vx
∂Vx ∂x
+Vy
∂Vx ∂y
+ Vz
∂Vx ∂z
⎞ ⎟ ⎠
=
−
∂P ∂x
+
⎛ ⎜ ⎝
∂τ xx
∂x
+
∂τ yx
∂y
+
∂τ zx
∂z
⎞ ⎟
+
⎠
ρ gx
ρ
⎛ ⎜ ⎝
∂Vy ∂t
+ Vx
∂Vy ∂x
+Vy
∂Vy ∂y
+ Vz
ρCV
dT dt
单位时间单位体积流体因温度变化而引起的热量变化
−∇ • qG或kΔT 因温差与周围流体产生热传导引起的热量变化
[τ
]
:
G ∇V
流体层之间相对运动，应力做功，转化呈热量引起的热
量或者温度的变化，即耗散功。
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程 2、物理意义 单位体积流体单位时间内热量的变化是由于流体的热传导、 流体因温度变化产生膨胀（压缩）做功和应力做功的结果。
G •V
∂t
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程
1、推导思路
( ) ρCV
∂T ∂t
=
−∇
•
G q
+
T
⎛ ⎜⎝
∂P ∂T
⎞ ⎟⎠ ρ
G ∇ •V
+
[τ
]
:
G ∇V
( ) ρCV
∂T ∂t
=
K ΔT
+
T
⎛ ⎜⎝
∂P ∂T
⎞ ⎟⎠ ρ
G ∇ •V
G
+ [τ ] : ∇V
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程 2、物理意义
0=0
第四节：流变学的基础方程
四、流变状态方程
1、牛顿流体的本构方程 （1）普适（广义）牛顿流体的本构方程
[τ
]
=
⎡τ
⎢
⎢τ
xx yx
⎢⎣τ zx
τ xy τ yy τ zy
τ τ τ
xz yz zz
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
⎡τ
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 0
0
τ
0
0 0
⎤ ⎥ ⎥
+
⎡τ
⎢ ⎢
xx − 0
τ
τ ⎥⎦
⎢ ⎣
0
( ) 0
τ yy − ττ
0
0
= 10 τ
τ zz3− τ
⎤ ⎡0
⎥⎢
x⎥⎦⎥x++⎢⎣⎢ττ
yyxy
zx
τ xy
+ τ0zz
τ zy
τ
xz
⎤ ⎥
τ yz ⎥
0
⎥ ⎦
[γ
]
=
⎡γ ⎢⎢γ
xx yx
⎢ ⎣
γ
zx
γ xy γ yy γzy
γ xz γ yz
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡γ
⎢ ⎢
0
一、连续性方程 物理意义： 单位时间单位体积内质量的变化=单位时间沿X、Y、 Z三个方向上单位面积净流入质量之和。 或者说：净流出与质量变化之和为零。
第四节：流变学的基础方程
二、运动方程（动量方程）——板书推导
G
ρ
DV
=
−∇P
+
∇
•
[τ
]
+
ρ
G g
Dt
物理意义： 动量变化（惯性力）= 净压力 + 净应力 + 重力 流体在X、Y、Z方向上单位体积动量的变化 =流体在X、Y、Z方向上压力变化、应力变化和重力之和
γzz
⎥ ⎦
⎣⎢ 0
0
γ
0
0 0
⎤ ⎥ ⎥
+
⎡γ
⎢ ⎢
xx − 0
γ
γ ⎦⎥
⎢ ⎣
0
( ) 0
γyy − γγ
0
0⎤
=γz13z 0−γγx⎦⎥⎥⎥x
⎡0
++⎢⎢⎢⎣γγγyzyyxx
γ xy
+ γ0zz
γzy
γ γ
xz yz
⎤ ⎥ ⎥
0
⎥ ⎦
第四节：流变学的基础方程
第四节：流变学的基础方程
四、流变状态方程 2、非牛顿流体幂律方程
τ ij = K γij n−1 γij
第五节：流变学基础方程的初步应用
平行平板拖曳流动：
The End
第四节：流变学的基础方程
（2）热传导的能量 Z
q x dydz
qz + dz dxdy
=
⎛ ⎜⎝ qz
+
∂qz ∂z
⎞ dz ⎟⎠ dxdy
G q
=
−k
∂TG
∂n
q y dxdz X
dz
dVs
⎛ ⎜⎝
qx
+
∂qx ∂x
dx
⎞ ⎟⎠
dydz
dx
dy qzdxdy
⎛ ⎜ qy ⎝
+
∂q y ∂y
⎞ dy ⎟ dxdz
ρCV
∂T ∂t
=
K ΔT
G
+ [τ ] : ∇V
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程 3、特殊状态下的数学表示式 （3）粘度很低的流体
G
[τ ] : ∇V = 0
( ) ρCV
∂T ∂t
=
K ΔT
+T
⎛ ⎜⎝
∂P ∂T
⎞ ⎟⎠ ρ
G ∇ •V
+
[τ
]
:
G ∇V
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程 3、特殊状态下的数学表示式 （4）等温流场
三、能量方程 1、推导思路
Z
dVs
X
dy
能量守恒定律：
E—单位质量流体的能量
∂(ρE)
dxdydz
dz
∂t
（1）流体流动净带入的能量
dx Y （2）热传导净带入的能量（温差）
（3）应力做功
（4）重力做功
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程 1、推导思路
（1）流体流动净带入的能量 （2）热传导净带入的能量（温差） （3）应力做功 （4）重力做功