a11b13 a12b23 a13b33
a21b13
a22b23
a23b33
a31b13 a32b23 a33b33
二阶张量与二阶张量的单点积
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 4、张量与张量的双点积 两个张量单点积所得张量主对角线上各分量之和
b22
b23
a31 a32 a33 b31 b32 b33
a11b11 a12b21 a13b31 a21b11 a22b21 a23b31
a31b11 a32b21 a33b31
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 a31b12 a32b22 a33b32
Aij : Bij tr Aij • Bij
该代数和称作这个张量的“迹”（Trace）， 实际上是个标量。
第二节 聚合物流变学的数学基础
小结： 一、场论的知识：定义、类型、性质 二、张量及其代数运算
1、定义、描述方法：张量分量数目=3n 2、特殊张量 3、张量的代数运算
AB Aij • Bij Aij : Bij
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （一）张量的定义及其描述 （二）几个特殊张量 （三）张量的代数运算
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （一）张量的定义及其描述 1、张量的定义 在一点处不同方向上具有不同量值的物理量称为张
量。例如：应力、应变、应变速率等。
第二节 聚合物流变学的数学基础
P23
P21
P22
P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 4、张量与张量的单点积
11 12 13 V1 11V1 12V2 13V3
21
22பைடு நூலகம்
23
•
V2
21V1
《聚合物加工工程》
第一章 聚合物加工流变学基础理论简介
第一节 引言 第二节 聚合物流变学的数学基础 第三节 聚合物流变学的基本概念 第四节 聚合物流变学的基础方程 第五节 聚合物流变学基础方程的初步应用
第一章 聚合物加工流变学基础理论简介
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 二、张量及其代数运算
二、张量及其代数运算 （二）几个特殊张量 3、并矢张量
AB BA
A A1, A2, A3 ,
A1B1
AB
A2 B1
A3B1
A1 B2 A2 B2 A3 B2
B B1, B2, B3
A1B3
A2
B3
A3B3
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算
1 0 0
I 0 1 0 ij
0 0 1
i j, ij 1 i j, ij 0
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （二）几个特殊张量 2、对称张量
P11 P12 P13
Pij
P21
P22
P23
P31 P32 P33
Pij Pji
第二节 聚合物流变学的数学基础
Q21
Q22
Q23
R31 R32 R33 P31 P32 P33 Q31 Q32 Q33
Rij Pij Qij
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 3、张量与标量的乘积
P11 P12 P13 P11 P12 P13
Pij
P21
P22
22V2
23V3
31 32 33 V3 31V1 32V2 33V3
一阶张量与二阶张量的单点积
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 4、张量与张量的单点积
a11 a12 a13 b11 b12 b13
a21
a22
a23
•
b21
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 3、场的性质
（1）稳定场与非稳定场 若场中物理量在各点处的对应值不遂时间而改变，
则该场为稳定场，反之则为非稳定场。
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 3、场的性质
（2）均匀场与非均匀场 若场中物理量在空间位置上处处相等、分布均匀，
则该场为均匀场，反之则为非均匀场。
二、张量及其代数运算 （一）张量的定义及其描述 2、张量的描述 标量：一个分量（30）— 零阶张量 矢量：三个分量（31）— 一阶张量 张量：九个分量（32）— 二阶张量
张量分量数目由阶数定，即： 张量分量数目=3n （数量30 、矢量31 、二阶张量32 ）
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （二）几个特殊张量 1、单位张量
The End
1、张量相等 2、张量加减法 3、张量与标量乘积 4、张量与张量的单点积 5、张量与张量的双点积
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 1、张量相等 阶相等 对应分量相等
Pij Qij
P11 P12 P13 Q11 Q12 Q13
P21
P22
P23
Q21
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 1、场的概念 在部分或全部空间里的每一点都对应有物理量的一
个确定的值，就称在这个空间里确定了该物理量的场。 例如：温度场、速度场、应力场等
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 2、场的类型 数量场：场中物理量是数量（温度场） 矢量场：场中物理量是矢量（速度场） 张量场：场中物理量是张量（应力场）
Q22
Q23
P31 P32 P33 Q31 Q32 Q33
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 2、张量加减法：同阶张量对应分量相加减
R11 R12 R13 P11 P12 P13 Q11 Q12 Q13
R21
R22
R23
P21
P22
P23