2016年高考数学文试题分类汇编立体几何大题1、【2016年北京高考】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.解：（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ．（II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点F ，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面C F E ，所以//PA 平面C F E ．2、【2016年江苏省高考】如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C1F.（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB.（I ）已知AB=BC ，AE=EC.求证：AC ⊥FB ；（II ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC.解析：（Ⅰ））证明：因BD EF //，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为E EC AE ,=为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥，又因为D DE BD =I ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为⊂FB 平面BDEF ，FB AC ⊥。

（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连HI GI ,，在CEF ∆中，G 是CE 的中点，所以EF GI //，又DB EF //，所以DB GI //；在CFB ∆中，H 是FB 的中点，所以BC HI //，又I HI GI =I ，所以平面//GHI 平面ABC ，因为⊂GH 平面GHI ，所以//GH 平面ABC 。

IFE HGBDC A4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为56π ，¼11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【解析】（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．计算体积与侧面积即得.（2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，计算C ∠OB 即得． 试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π，圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ，所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由¼11A B 长为3π，可知1113π∠AOB =∠A O B =， 由»C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =， 所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π． 5、【2016年四川高考】如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD 。

（I ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；（II ）证明：平面PAB ⊥平面PBD 。

【解析】（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD‖BC,BC=12AD，所以BC‖AM, 且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.又AB⊂平面PAB,CM ⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) （II）由已知，PA⊥AB, PA ⊥CD,因为AD∥BC,BC=12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥BD.因为AD∥BC,BC=12 AD，所以BC∥MD,且BC=MD.所以四边形BCDM是平行四边形.所以BM=CD=12AD，所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.又BD⊂平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.6、【2016年天津高考】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，6，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.(Ⅰ)求证：FG||平面BED；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.解析：（Ⅰ）证明：取BD 的中点为O ，连接OG OE ,，在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以DC OG //且121==DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又⊄FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，所以//FG 平面BED .（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ；平面I AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED .（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面I BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在AHB Rt ∆中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为657、【2016年全国I卷高考】如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（I）证明：G是AB的中点；（II）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE（II）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA⊥，⊥PB PC，又//EF PB,所以EF PA EF PC，⊥⊥,因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心. 由（I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故2.3=CD CG由题设可得⊥PC 平面PAB ，⊥DE 平面PAB ，所以//DE PC ，因此21,.33==PE PG DE PC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ，可得2,2 2.==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 8、【2016年全国II 卷高考】 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE CF =，EF交BD 于点H ，将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆的位置.（Ⅰ）证明：'AC HD ⊥； （Ⅱ）若55,6,,'224AB AC AE OD ====,求五棱锥D ABCEF '-体积.试题解析：（I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得=AE CF AD CD，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD .（II ）由//EF AC 得1.4==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得22 4.==-=DO BO AB AO所以1, 3.'===OH D H DH 于是22222(22)19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=I AC BD BD HD H ，所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD又由,'⊥=I OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC 又由=EF DH AC DO 得9.2=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224=⨯⨯-⨯⨯=S 所以五棱锥'ABCEF D -体积16923222.342=⨯⨯=V 9、【2016年全国III 卷高考】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC P ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN P 平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. ....9分 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S . 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . .....12分 10、【2016年浙江高考】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.解析：（1）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF AC ⊥，又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD .（2）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角， 在Rt BFD ∆中，33,2BF DF ==，得21cos BDF ∠=， 所以直线BD 与平面ACFD 21.。