步骤
大小的方法：
理论根据
作商比较法
步骤
二、不等式的性质
1、对称性： a b b a
2、传递性： a b,b c a c
abacbc
3、加法性质：a b
c
d
a
c
b
d
同向可加性
二、不等式的性质
4、乘法性质：
a c
b
0
ac
bc
a b 0
c
d
0
ac bd 0
同向同正可乘
5、乘方性质：
Q2a3
1 1 1 （倒数法则）
3a2
3 b2 8（乘法法则）
a
注意：
在求解过程中要避免犯如下错误：
由24
a b
3 3
得 8 ab 9
错因：用乘法法则时不符合其
“同向同正”的前提条件。
• 主要内容
小结
• 基本理论:
• a - b > 0 <=> a > b
• a - b = 0 <=> a = b
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
Q2a3
6 ab 1（2 乘法法则）
-12 ab -6 （乘法单调性）
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3
9 b2 16（乘方法则）
ab
[( )2 ( )2 ] ( a b) a b
b
a
ba
a b b a（分组通分） (a b)( 1 1 )
ba
ba
(a b)( a b) ( a b)( a b)2
ab
ab
（定号）
0
(
a
2
)
1 2
b2 (
1
)2
b
a
a b
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
x1 )（分组）
(x2
x1 )
(
x1 x2 x1 x2
)
（通分）
(x2
x1 )
(x1x2 1) x1x2
（定号）
(x2
0
x1 )(1
1 x1x2
)
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法1:(作差法) Q a 0,b 0
a2 1 b2 1
ba
解：（1）Q 2 a 3, 4 b 3
-2 a+b 0
（加法法则-同向可加性）
（2）Q 4 b 3
3 -b 4（乘法单调性）
Q2a3
5 a b 7（加法法则）
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求
a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（3）Q 4 b 3
1 1 1（倒数法则）
3b 4
1 1 1（乘法单调性）
4 Q2
a
b
3
3
1
-
a
（1 乘法法则）
2b
1 a 1（乘法单调性）
b2
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
一、不等式的相关概念：
1.不等式的定义：
用不等号表示不等关系的式子
按两不等式 同向不等式 的方向分 异向不等式
2.不等式 的分类：
按未知数最 高次幂分
一次不等式 二次不等式 高次不等式
分式不等式 无理不等式
3、两数在数轴上的表示：
在数轴上右边的点比左边的点表示的数大
理论根据 作差比较法
4、比较两式
ab
ab
a2 1 b2 1
( )2 ( )2 a b
b
a
小结：
作差比较大小（变形是关键）
常用手段:配方法，因式分
变形
解法
常见形式:变形为常数；
一个常数与几
个平方和；
几个因式的积
注：平方差，完全平方，立方和、
差等公式的应用
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
用于简单判断或填空题
解法1：特殊值法
解法2：作差比较法
三、例题分析：
例2:(1)已知0 a b, a b 1，则 a,b, 1 , 2ab, a2 b2 从小到大的顺序是
2
_a___2_a_b___12___a_2__b_2___b___ 特殊值法: 取 a 1 ,b 3 44
三、例题分析：
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物 的形状结构，事与事的成因与结果的不同等 等都表现出不等关系，这表明现实世界中的 量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局 部的、相对的。
不等式知识贯穿整个高中数学，也是高 等数学的基础和工具，一直是高考的重点内 容，占相当大的比重。不等式具有应用广泛、 变换灵活的特点。
b
a
三、例题分析：
例4:已知a
0, b
0，比较( a2
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法3:(平方作差法) Q a 0,b 0
a2 [(
1
)2
b2 (
1
) 2 ]2
(
a
b)2
立方和baa2 b2( 2 ab) (a b 2 ab)
ba
变形
a3 b3 (a b) (a b)(a b)2 0
a b 0 an bn;
（ n取正整数）
二、不等式的性质
6、开方性质：a b 0 n a n b
（ n取正整数）
ab
7、倒数性质：
ab
0
1 a
1 b
三、例题分析：
例1：已知a 0,1 b 0 ，那么在
a, ab, ab2 这三个数中，最小的数是
__a__，最大的数是__a_b____
1
)2
b2 (
1
)2
b
a
与 a b 的大小。
解法2:(作商法) Q a 0,b 0
(a2
1
)2
(b2
1
)2
b
a
a b
b a (
a)3 (
b )3
a b
a b ( a b) ab
a
b ab
ab
（立方和 公式）
(
a
b)2 ab
a（b 配方）
（定号）
ab
1
(
a
2
)
1 2
(
b2
)
1 2
a
b
ab
例2:(2)已知2x 4y 1 ，比较 x2 y2
作与差210比的较大法:小__xx2_2_y_y2_2__121_0 _
注：特殊值 法容易漏“=”
20
x2
(1 4
1 2
x)2
1（条件 20
2x
4y=1
的应用）
5 x2 - 1 x+ 1 5（x2 - 1 x+ 1 ） 4 4 80 4 5 100
5（x4
110）（2 配方）
0
小结：
作差比较两数大小的步骤
(1)作差；
(2)变形； 常用手段:配方法，因式分
(3)定号；
解法
(4)下结论；
三、例题分析：
例3:已知 x2 x1 1 ，比较
作与差x1比 较x11 法的: Q大x小2 。x12
( x1
1 )
x1
x2
1 x2
11
(x2
x1)
( x2