等效刚度：k * EI ( ) 2 dx ki ( ) 2
0
，其中ki 是集中弹簧刚度
根据能量守恒定律，有最大势能等于最大动能，即 动能为
Tmax Vmax
Tmax
1 L 1 2 2 T AV 2 2 R sin 2 (Rt )dx msV 2R ( xs ) 2 sin 2 (Rt ) 2 0 2 L 1 L 1 1 2 2 2 2 2 2 AV 2 2R dx msV 2R ( xs ) 2 1 RV A dx 2 ms ( xs ) 2 0 2 2 0 1 2 2 Tmax m RV 2
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 梁中弯矩：
荷载作用点ξ = L /2 时梁的动力反应
梁的位移：
梁的弯矩：
将x=L /2 代入相应方程可得梁中点的挠度和弯矩：
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L n 1 x xs
等效质量：m* A 2 dx ms ( )2
0
，其中m s是集中质量
V
1 L 1 2 EIV 2 ( ) 2 cos 2 ( Rt )dx kiV 2 ( xi ) cos2 ( Rt ) 2 0 2 1 L 1 2 Vmax EIV 2 ( )2 dx kiV 2 ( xi ) 2 0 2
2l
O
求导两次得 ( x)
2
4l 2
cos

2l
x
（可以验证，为容许函数）
x
l
由瑞利法有

2 n1
作为假设模态 q 求导两次得 ( x) (l x ) 2 2 EI 由瑞利法有

2 n1
EI [
0 l 0
l
2
4l 2
cos

2l
x ]2 dx x)] dx
3
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五、连续体系的离散化
1、动刚度矩阵
梁结构模态函数一般 梁结构模态函数 一般表达式为 表达式为 ( x) C1 cos x C 2 sin x C3 cosh x C 4 sinh x 另写为： ( x ) D ch kx D sh kx D cos kx D sin kx 1 2 3 4 根据材料力学有
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 有阻尼强迫振动的振型叠加法 如果是经典阻尼，把振型运动方程改写为有阻尼的形式 振型阻尼系数Cn用振型阻尼比ζn表示 则有阻尼振型运动方程为
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三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法
这是标准的有阻尼单自由度体系运动方程。 求得qn(t ) 后，同样可以求u ( x,t )、M( x,t ) 和V ( x,t ) 等。 注意 几个 问题
从而求解： 上式与单自由度的运动方程完全一样，给出了求n 阶振型坐标qn(t ) 的运 动方程。通过振型展开，把求解以 动方程。通过振型展开，把 求解以u ( x,t ) 作为未知量的偏微分运动方程， 化为以振型坐标 化为以 振型坐标qn(t )为未知量的一系列常微分方程。
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三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法
Vmax
L
1 L 2 EI ( ) 2 dx ki ( xi ) V 2 0 2
n 1 x xi
Vmax
1 2 kV 2
( x)是假定振型，是V ( x )的一种近似函数，满足位移边界条件 设：v( x, t ) V ( x ) cos(Rt ) R 表明瑞利近似表示的基频。
2. 模态叠加法 在给定外荷载p ( x,t )作用下，梁的 作用下，梁的无阻尼横向弯曲振动 无阻尼横向弯曲振动方程为 方程为 采用瑞利 采用瑞 利 (Rayleigh (Rayleigh) )法和假设模态法通常情况下
设：v( x, t ) V ( x )u (t )
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四、简支梁在移动荷载作用下的振动
当移动荷载作用下产生的变形曲率很 小和移动速度较低时，考虑移动质量 的简支梁动力平衡方程为：
采用振型分解法（叠加）求解： 振型力为：
振型坐标的运动方程为： 而 因此： 将等式右边的未知加速度量移到等式左边，得： 当取前几阶时，一般只能采 用逐步积分的数值法求解。
设：
根据前面公式：
解： （1）简支梁模态分析 梁弯曲振动的运动微分方程：
即：
即： 振型质量： 振型刚度：
2
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三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 振型荷载： 由此得到n阶振型坐标的运动方程： （2）计算振型反应 振型坐标qn(t ) 是一个单自由度体系在突加外力p0φn(ξ) 作用下的 反应，由单自由度中给出的解法可以容易求解。 设初始条件为零，则方程的解为： （ 3 ）梁的动力反应 梁的位移：
n1
3.61 EI l2 l
与精确值
EI
l
的误差为
3.61 3.515 4% 3.515
与精确值
3.515 EI 的误差为 l2 l

3.53 3.515 0.4% 3.515
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
其中， 振型质量 振型刚度 振型外荷载 当梁的边界为铰支、固支或 自由，则振型刚度为： 分步积分
1
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三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 振型质量 振型 质量Mn和振型 振型刚度 刚度Kn之间 之间的关系 的关系 振型和频率满足的控制方程为： 振型 和频率满足的控制方程为： 乘以振型 乘以 振型φn( x) 再沿梁长积分可以得到以下关系： 其中，
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法
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四、简支梁在移动荷载作用下的振动
分析以上给出的位移和弯矩的级数解可以发现，位移是按n4收敛，而 弯矩仅按n2收敛，因此，为保证内力的有效计算精度，必须取比位移 更多的项计算。 为达到误差小于0.001，位移可以取前3 项，而对于弯矩则需取16 项。 这是一般位移解法的共性。
等效单自由度自由振动方程（无阻尼）： k *u 0 m*u
k* . m* 讨论：瑞利法求得的频率总是略大于精确解，即为上限;
2 R
可用来求高阶频率，但一般仅用来求一阶固有频率。
第八讲：分布参数系统的动力响应(三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法 试用瑞利法估算等截面悬臂梁的基频。 解（1）取均布载荷作用下梁的静挠度曲线
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三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法
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三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 首先进行模态分析，得到 简支梁的自振频率和振型
例题 如图所示一均匀简支梁，在距端点ξ处作用一随时间阶梯变化的集 中荷载p ( t) ，试推导简支梁动力反应的位移和弯矩表达式，并给 出外荷载作用于梁中部时的结果。
( x )
M Q , ( x ) EI EI
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五、连续体系的离散化
1、动刚度矩阵 ( x ) D1 ch kx D2 sh kx D3 cos kx D4 sin kx ( x) kD1shkx kD2 chkx kD3 sin kx kD4 cos kx
2
l [ (1 cos
3.53 EI n1 2 l l
3.515 l2

2l
EI [
0
l
l [
0
l
q 24 EI
162 EI 4 ( x 4 4lx 3 6l 2 x 2 )]2 dx 13 l l
q (l x) 2 ]2 dx 2 EI
4 EI 3 4 l l 4 32( ) 2
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第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法
即最早介绍过的假定振型法，以梁的横向振动为例
设：v( x, t ) V ( x )u (t ) V ( x)u (t )
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
q ( x) ( x 4 4lx 3 6l 2 x 2 ) 24 EI
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法 （2）取 ( x) (1 cos x) 作为假设模态，其中δ为自由端的静挠度。