（2）将向量 W (W1,W2,L ,Wn )T 归一化：
Wi
Wi
n
Wi
i1
i 1,2,L ,n
所求得 W (W1,W2,L ,Wn )T 即为所求特征向量。
14
（3）计算判断矩阵最大特征根
max
n i1
( AW )i , nWi
其中 (AW )i 表示向量 AW 的第 i 个元素。
15
18
• CR，检验系数
CR＝ CI RI
• CR愈小，判断矩阵的一致性愈好； • 一般地，当CR0.1时，可认为判断矩阵
具有满意的一致性。否则需要调整判断 矩阵，直至满意的一致性。
19
(四) 层次总排序
▪ 利用同一层次中所有层次单排序的结果，就可以 计算针对上一层次而言的本层次所有元素的重要 性权重值，这就称为层次总排序。层次总排序需 要从上到下逐层顺序进行。对于最高层，其层次 单排序就是其总排序。
1，和积法：
（1）将判断矩阵每一列归一化：
aij
aij
n
akj
k 1
i, j 1,2,L ,n
（2）将每一列经归一化后的矩阵按行相加：
n
Mi aij j 1
i 1, 2,L ,n
12
（3）将向量 M (M1, M2,L , Mn )T 归一化：
Wi
Mi
n
M j
j 1
i 1,2,L ,n
基
础
邮电通讯发展水平0.256
▪ 若上一层次所有元素A1，A2，…，Am的层次总 排序已经完成，得到的权重值分别为a1，a2，…， am与aj对应的本层次元素B1，B2，…，Bn的层次 单排序结果为：
b1j ,b2j ,b3j ,L ,bnj '(这里，当Bi与Aj无联系时，bij 0)
20
(四) 层 次 总 排
交通运输及发展水平0.426
设判断矩阵为：
W1
W1
W1 W2
L
W1
Wn
W2
A
W1
W2 W2
L
W2
Wn
..M.........M........M........M.....
Wn W1
Wn W2
L
Wn Wn
为 A 的特征根， W (W1,W2,L ,Wn )T 为特征根
所对应的特征向量。
11
特征向量近似解法
所求得 W (W1,W2,L ,Wn )T 即为所求特征向量。
（4）计算判断矩阵最大特征根
max
n i1
( AW )i , nWi
其中 (AW )i 表示向量 AW 的第 i 个元素。
13
2，方根法：
（1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根：
n
Wi n aij j 1
i 1,2,L ,n
7
W1
W1
W1 W2
L
W1
Wn
W2
A
W1
W2 W2
L
W2
Wn
..M.........M........M........M.....
Wn W1
Wn L W2
Wn Wn
判断矩阵是层次分析法的核心。
8
判断矩阵中各元素的确定——标度
▪对任意两因素的相对重要性进行判断，并予以量化。
M
ann
设 aij 的元素
Wi
Wj
aij
，则判断矩阵 具有三条性质：
(1) aii 1;
(2)
aij
1; aij
(3) aij aik akj ;
满足这三条性质的判断矩阵，称为完全一致性判断 矩阵。
n阶完全一致性判断矩阵的最大特征根为 max n;
其余特征根为 0。
10
(二) 权重的确定方法
1～9标度方法列表如下：
标度 1
定义(比较因素i与j) 因素i与j一样重要
3
因素i比j稍微重要
5
因素i与j较强重要
7
因素i与j强烈重要
9
因素i与j绝对重要
2，4，6，8 介于以上相邻两种情况之间
倒数
两目标反过来比较
9
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M L
an1 an2 L
a13
a23
建立层次模型的步骤如下： （1）明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相
互之间的关系。 (2) 将决策问题层次化，划分为总目标层、分
目标层和方案层。
4
三、求解步骤
➢ （1）建立层次结构模型； ➢ （2）对各层元素两两比较，构造判断矩阵； ➢ （3）求解判断矩阵的特征向量，并对判断矩阵
的一致性进行检验； ➢ （4）一致性检验通过后，确定各层排序加权值，
若检验不能通过，需要重新调整判断矩阵； ➢ （5）得出层次总排序。
5
层

构造判断矩阵C
次
求C的特征向量
单
排
求C的最大特征值
序
求
一致性收敛
解
判断
过
是
程
结束
修改判断 矩阵C
否
6
(一) 判断矩阵
概念：设Wi表示反映第i个方案对于某个最低 层目标的优越性或某层第i个目标对于上层某一 目标的重要性的权重，以每两个方案（或子目 标）的相对重要性为元素的矩阵A称为判断矩 阵。
层次分析法
1
一、层次分析法概述
➢美国运筹学家Saaty教授于二十世纪70年代提出 的一种实用的多方案或多目标的决策方法。 ➢主要特征是：合理地将定性与定量的决策结合 起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、 数量化。 ➢1982年被引入国内后迅速地在我国社会经济各 个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管 理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。
2
二、层次分析法的基本原理
➢ 层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为 若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因 素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最 后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的 方案即为最优方案。
3
层次分析法的基本假设：是层次之间存在递 进结构，即从高到低或从低到高递进。
层次分析法的基本方法：是建立层次结构模 型。
CI＝ Max -n
n 1
• CI愈大，判断矩阵的一致性愈差； • λMax-n愈大，CI愈大，矩阵的一致性愈
差； • CI=0，判断矩阵具有完全一致性。
17
• RI，平均随机一致性指标，是足够多个 根据随机发生的判断矩阵计算的一致性 指标的平均值。
• 3—9阶矩阵的RI取值见下表：
阶数 3 4 5 6 7 8 9 RI 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
(三) 一致性检验
• 构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵 计算针对某一准则层各元素的相对权重， 并进行一致性检验。虽然在构造判断矩 阵A时并不要求判断具有一致性，但判断 偏离一致性过大也是不允许的。因此需 要对判断矩阵A进行一致性检验。
• 通过计算一致性指标和检验系数进行检 验。
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• CI，度量判断矩阵偏离一致性的指标