3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系
双基达标 限时20分钟
1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )．
A ．(1，2，3)
B ．(1，3，2)
C ．(2，1，3)
D ．(3，2，1) 答案 A
2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．
A ．(0，－3，1)
B ．(2，0，1)
C ．(－2，－3，1)
D ．(－2，3，－1) 答案 D
3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置
关
系
是
( )．
A ．平行
B ．垂直
C ．相交不垂直
D ．无法判断
解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β. 答案 A
4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________． 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y
＋2＝0，∴y ＝12.
答案 12
5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则
k ＝______．
解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2
k
，解得k ＝4.
答案 4
6．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0，
0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，
2)，E (3，4，0) ∵AP ＝2PA 1，
∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝2
3(0，0，2)＝(0，0，43)，
∴P 点坐标为(3，0，4
3
)．
同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，2
3)．
∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS →
，
又∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .
综合提高（限时25分钟）
7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面 ( )．
A ．xOy 平行
B ．xOz 平行
C ．yOz 平行
D ．yOz 相交
解析 因为AB →
＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 答案 C
8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在
平
面
α
内
的
是
( )．
A ．(1，－1，1)
B ．(1，3，3
2)
C ．(1，－3，32)
D ．(－1，3，－3
2
)
解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →
与平面α的法向量n 是否垂直，即
PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →
·n
＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝(1，－4，12)，则PA →
·n
＝(1，
－4，1
2)·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.
答案 B
9．已知直线a ，b 的方向向量分别为m ＝(4，k ，k －1)和n ＝(k ，k ＋3，3
2)，若a ∥b ，则k
＝______．
解析 ①当k ＝0时，a 与b 不平行． ②当k ≠0时，由4k ＝k k ＋3＝k －1
3
2解得k ＝－2.
答案 －2
10．若A (0，2，198)，B (1，－1，58)，C (－2，1，5
8)是平面α内的三点，设平面α的法向
量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________． 解析 AB →
＝(1，－3，－74)，AC →＝(－2，－1，－74)，
由⎩⎪⎨⎪⎧a ·AB →＝0，
a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74
z ＝0，－2x －y －74
z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y ，
则x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶(－4
3y )＝2∶3∶(－4)．
答案 2∶3∶(－4)
11．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1
的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .
证明 法一 如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的 棱长为1，则可求得
M (0，1，12)，N (12
，1，1)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，
1，0)，
于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1，0，1)，DB →
＝(1，1，0)，
设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，
则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →
＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.
取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 又MN →
·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，
∴MN →
⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .
法二 ∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →
)＝12DA 1→，
∴MN →∥DA 1→
，而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD .
12．(创新拓展)如图，O 是正方体ABCD －A
1B 1C 1D 1的底面中心，P 是DD 1的中点，Q 点在CC 1上，问：当点Q 在CC 1的什么位置时，平面BD 1Q ∥平面APO?
解 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则O (1，1，0)，P (0，0，1)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，D 1(0，0，2)，
设Q (0，2，z )(0≤z ≤2)， 那么OP →
＝(－1，－1，1)，
BD 1→
＝(－2，－2，2)，
∴OP →∥BD 1→
，又B ∉OP ，∴OP ∥BD 1. 又AP →
＝(－2，0，1)，BQ →
＝(－2，0，z )， 显然当z ＝1时，AP →∥BQ →
，由于B ∉AP ， ∴AP ∥BQ ，此时平面AOP ∥平面D 1BQ . ∴当Q 为CC 1的中点时，平面AOP ∥平面D 1BQ .。