例1题图②
解：由抛物线y= - 1 x2+ 5 x-2，得
2
2
y= -1 （x2-5x）-2= - 1 (x- 5 )2+ 9 ，
2
22
8
∴抛物线顶点D的坐标为（ 5
对称轴l为直线x= 5 ；
2
2
, 9 ）， 8
例1题图②
（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标； 【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要 求点E的坐标，已知AE=CE，需先分别用含e的式子表示出 AE和CE，由于A点坐标（1）中已求得，则AE＝4-e,由题图
式，得
16a+4b+c=0 a+b+c=0 c=-2，
a= - 1
2
解得
b= 5 2
c=-2，

∴抛物线解析式为y= - 1 x2+ 5 x-2；
2
2
例1题图①
（2）求顶点D的坐标与对称轴l； 【思维教练】要求顶点D的坐标和对称轴l，需知抛物 线的顶点式，(1)中已求得抛物线的一般式，直接化为 顶点式即可得到点D的坐标和对称轴l ；
解得e= 3 ， 则点E的2 坐标为（ 3
2
，0）；
例1题解图①
（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值 最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
例1题图④
【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”， 解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点， 使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方 法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问，要使 GD+GB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B′,再连接B′D, B′D与y轴的交点即为所求的G点，求直线B′D的解析式，再 求其与y轴的交点即可；
例1题图⑥
后，再求出直线BD与y轴的交点坐标即可；
解：存在.如解图④，延长DB交y轴于点S.
当S与DB不在同一条直线上时，
由三角形三边关系得SD-SB<BD，
当S与DB在同一条直线上时，SD-SB=BD，
∴SD-SB≤BD，即当S在DB的延长线上时，
SD-SB最大，最大值为BD.
设直线BD的解析式为y=mx+n, 由B（1，0），D（ 5 ， 9 ），得
设点H的横坐标为h，线段HK＝d.
①求d关于h的函数关系式；
②求d的最大值及此时H点的坐标；
例1题图⑦
【思维教练】平行于y轴的两点之间的距离为此两点的纵坐
标之差的绝对值，如此问，要求d关于h的函数关系式，由
股定理得BC= 1222= 5为定值，
F
∴当BF+CF最小时，C△BCF最小.
∵点B与点A关于直线l对称， ∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F， 例1题解图③
将x= 5 代入直线y= 1 x-2，得y= 1 × 5 -2=- 3 ，
2
2
22
4
∴点F的坐标为（
5 2
3 , -4
）.
在Rt△AOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得 AC=2 5 ， ∴△BCF周长的最小值为BC+AC= 5 +2 5 =3 5 ；
28
S
例1题解图④
m+n=0
5 m+n= 9 ，
2
8 m=
3
解得
4，
3
n=-
4 ∴直线BD的解析式为y=
3
x- 3
,
当x=0时,y=- 3 ,
44
S
例1题解图④
即当点S的坐标4 为（0，- 3 ）时，SD-SB的值最大；
4
（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一
点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，
可知点O、E、C三点可构成Rt△COE，结合C点坐标，利用
勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；
例1题图③
解：如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为
（e,0），
则AE=4-e，连接CE，
在Rt△ COE中，根据勾股定理得
E
CE2=OC2+OE2=22+e2，
∵AE=CE，
∴(4-e)2＝22+e2，
F
例1题解图③
（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD- SB的值最大，
若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由;
【思维教练】要使SD-SB的值最大，则
需分两种情况讨论：①S、B、D三点不
共线时构成三角形，由三角形三边关系
得到SD-SB<BD；②当三点共线时，有
SD-SB=BD.从而得到当点S在DB的延长 线上时满足条件，求出直线BD的解析式
拓展题型 二次函数综合题
拓展一 二次函数与线段和差问题 拓展二 二次函数与三角形面积问题 拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题
拓展一 二次函数与线段和差问题
典例精讲
例1 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴交于点A、 B（1,0)，与y轴交于点C，直线y= 1 x-2经过点A、C.抛物
2 线的顶点为D,对称轴为直线l .
（1)求抛物线的解析式； 【思维教练】已知直线y= 1 x-2经过
2 点A、C，结合题干，可求得A、C两
点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可；
例1题图①
解：对于直线y= 1 x-2，令y=0,得x=4, 2
令x=0，得y=-2， ∴点A（4 ， 0），点C（0，-2）， 将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入抛物线解析
解：存在.如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的
坐标为（-1,0）.连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求
的点.
设直线B′D 的解析式为y=kx+d
G B′
（k≠0），其中D( 9 , 5 )，
8 29
-k+d=0
k= 28
则 5 k+d= 9 ， 解得 d= 9 ，
2
8
28
例1题解图②
9 ∴点直 G的线坐B′标D的为解（析0，式为y9）= ；2 8x+
9 2 8 ，令x=0,得y=
9，∴ 28
28
（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，
若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，
请说明理由；
【思维教练】要使△BCF的周长最小，因
为BC长为定值，即要使CF+BF的值最小，
由点A,B关于直线l对称，可知AC与l的交点
为点F，即可使得CF+BF最小，将x= 5 代 入直线AC的解析式，即可求得F点的坐2 标，
例1题图⑤
在Rt△AOC中可得AC的长，在Rt△OBC中可得BC的长，
即可得到△BCF周长的最小值；
解：存在，要使△BCF的周长最小，即BC+BF+CF最小，
如解图③所示. 在Rt△OBC中，OB=1，OC=2，由勾