的取值范围．
22．（本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在坐标原点 O，长轴长为 2
2 ，离心率 e＝
2
，
2
过右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若 OP、OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线 l 的方程．
参考答案
一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分
有一项是符合题目要求的．）
1．等差数列{ an }中， a3 ＝2， a5 ＝7，则 a7 ＝
A．10
B．20
C．16
D．12
2．设集合 A＝{x｜0<x<1}，B＝{x｜0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知△ABC 的周长为 20，且顶点 B（0，－4），C（0，4），则顶点 A 的轨迹方程是
则 a 2 4 0 ；即 2 a 2 .……………………………………3 分
函数 y loga x ，（ a 0且a 1）为则增函数，
所以 a 1 .
…………………………6 分
a 2或a 2,
因为
p
假
q
真，所以
a
1,
………………………8 分
a 2.
…………………………10 分
B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形
D．钝角三角形
10．设定点
M（3，
10 3
）与抛物线
y2
＝2x
上的点
P
的距离为
d1
，P
到抛物线准线
l
的距为
d2 ，则 d1 ＋ d2 取最小值时，P 点的坐标为
A．（0，0）
B．（1， 2 ）
C．（2，2）
11
D．（ ，－ ）
82
11．已知
F1
、
F2
是椭圆
x2 a2
2AB AC
5 ，………………………….8 分
于是 sin A
1 cos2 A =
5
，…………………………………10 分
5
从而 S ABC
1 2
AB AC sin
A 3.………………………………12 分
19.解：设矩形温室的左侧边长为 a m，后侧边长为 b m，则 ab=800 m2 .
2n 1 3n
0,
Tn T1 1 . 若Tn. 2a 1 恒成立，则 1 2a 1 , a 1. ……………12
分
22.解：(1)由已知，椭圆方程可设为 x2 y2 1a b 0．
a2 b2
∵长轴长为 2 2 ,离心率 e
2
，
即 2a 2 2,
e c
2
.
2
a2
∴ a 2, b c 1 ．所求椭圆方程为 x2 y2 1 ． 2
E→F P→B ∴〈 ， 〉 ＝ 90°，异面直线 EF 和 PB 所成角的大小为 90°，……7 分
B→C
E→F
(2)证明：由(1)知 EF⊥PB，又∵ ＝(0,2,0)， ＝(1,0,1)，
E→F B→C ∴ · ＝0,
∴EF⊥BC.
…………………………………10 分
∴ 又 EF⊂平面 PCE, ∴平面 PCE⊥平面 PBC.………………………12 分
.
因为以 OP, OQ 为邻边的平行四边形是矩形，所以 OP OQ ，
所以. OP OQ 0 .
由 OP OQ
x1 x2
y1 y2
2k 2 2 k 2 1 2k 2 1 2k 2
0,
得 k 2 2 ， k 2 . …………………………………………10 分 所求直线的方程为 y 2(x 1) ． ………………1 2 分
18．（本小题满分 12 分）在△ABC 中，BC＝ 5 ，AC＝3，sinC＝2sinA．
（Ⅰ）求边长 AB 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积．
19．（本小题满分 12 分）某公园计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形花卉温室．在温室内， 沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道。沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，中间矩形
则花卉的种植面积为 S (a 4)(b 2) ab 4b 2a 8 808 2(a 2b).…………4
分
所以 S 808 4 2ab 648(m2 ). …………8 分
当且仅当 a 2b,即a时 40(m),b 20(m) , S最大值 648(m2 ).……11 分
y2 ＋＝
b2
1（a>b>0）的两个焦点，以线段 F1 F2 为边作正三角形
M F1 F2 ，若边 M F1 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是
3－1
A．
2
B． 3－1
3＋1
C．
2
D． 3＋1
12．空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点坐标为 A（3，1，0），B（－1，3，0），若
点 C 满足 OC ＝ OA ＋ OB ，其中 ， ∈R， ＋ ＝1，则点 C 的轨迹为
3n
分
2 3
Tn
1
2 3
2 32
2 3n1
2n 1 3n
1
2
1 3
[1 ( 1
1 ) n 1 3 1
]
2n 3n
1
2
(
1 3
)n1
2n 1 3n
.
…………8
分
3
所以 Tn
3
1 2 3n2
2n 1 2 3n1
3
n 1
.
3n1
………………………………9 分
Tn1
Tn
3
n2 3n
3
n 1 3n1
}中，若 a3a5a7a9a11＝243 ，则
a92 a11
的值为
A．9
B．1
C．2
D．3
6．三角形两条边长分别为 2 和 3，其夹角的余弦值是方程 2 x2 －3x＋1＝0 的根，则此三角
形周长为
A． 7
B． 7
C．5＋ 7
D．5＋2 3
x 2, 7．若实数 x、y 满足 y 3, 则 S＝2x＋y－1 的最大值为
18.（1）解：在 ABC 中，根据正弦定理， AB BC ， sin C sin A .......２分
于是 AB sin C BC 2BC 2 5
sin A
．............................5 分
（2）解：在 ABC 中，根据余弦定理，
得 cos A AB 2 AC 2 BC 2 2 5
河南省洛阳市孟津县第二高级中学 2020-2021 学年高二数学 9 月周练
试题
注意事项： 本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试时间 120 分钟，满分
150 分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。 交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
∴由求根公式可得： x1,2
2k 2 2k 2 1 2k 2
2
.
x1
x2
4k 2 1 2k 2
,
x1x2
2k 2 2 1 2k 2
．……………………7
分
y1 k(x1 1) ， y2 k(x2 1) .
y1 y2
k 2 (x1
1)( x2
1)
k 2[x1x2
(x1
x2 ) 1]
k 2 1 2k 2
答：当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，花卉种植面积达到最大，最大面积
为 648 m2 ……………………………………………………………12 分
20.(12 分)解： 以直线 AB 为 x 轴， 直线 AD 为 y 轴， 直线
AP 为 z，轴建立空间直角坐标系，
如右图，则 A(0,0,0),
A．平面
B．直线
C．圆
D．线段
第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡上相应位置）
13．数列{ an }的通项公式为 an ＝2n－9，n∈N﹡，当前 n 项和 Sn 达到最小时，n 等于
_________________.
x2 y2 14．若双曲线 －＝
B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)．…………………………2 分
(1)∵E 为 AD 的中点， ∴E(0,1,0), 又 F 为 PC 的中点，
∴ F(1,1,1)．∴E→F＝(1,0,1)．又P→B＝(2,0，－2)，
E→F P→B ∴cos〈 ， 〉＝0，…………5 分
则数列bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列.则 bn 1 (n 1) 2 2n 1. ………5
分
（Ⅱ）因为 cn
bn an
2n 1 3n1 ，所以 Tn
1 30
3 31
5 32
2n 1
.
3n1
则
1 3 Tn
两式相减得：
1 31
3 32
5 32
2n 3 3n1
2n 1
,………………………7
………… 4 分
(2）当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 的方程为 x 1 ，此时 POQ 小于 90 ， OP, OQ 为
邻边的平行四边形不可能是矩形．
……………5 分
当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y k x 1．