7 8 9 9 4 4 6 4 73 江苏省高三年级第十次周练 数 学 试 卷必做题部分（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填在答题纸的相应的横线上）1.已知集合，定义，则集合的所有真子集的个数为 ▲ .2．复数的实部与虚部相等，则实数= ▲3．抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为二次函数的图象的顶点，则此抛物线的方程为 ▲ .4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .5. 按右图所示的程序框图运算，若输入，则输出= ▲ ．6．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ▲ ． 7．右图是中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个 最低分后，所剩数据的平均数为 ▲ ，方差分别为 ▲ 。

8. ▲ ；9．设函数，，数列满足，则数列的前项和等于 ▲ ；10．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面的距离可能是： ①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为__ ▲ __（写出所有正确结论的编号）11．若实数满足，在平面直角坐标系中，此不等式组表示的平面区域的面积是 ▲ .{4,5},{1,2}P Q =={|,,}P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈P Q ⊕)2)(1(i ai -+a 221y x x =++8x =tan 20tan 403tan 20tan 40︒+︒+︒︒=21123()n n f x a a x a x a x-=++++1(0)2f ={}na 2(1)()n f n a n N *=∈{}n a n nS ααααx y ，22120x y x x y x ⎧⎪⎨⎪++⎩，，-4≤≤≥ ABCDA1B1C1 D1第10题图α12．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，已知， ▲ ，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.试在横线上将条件补充完整.13.设M 是 m 、n 、p 分别是的最小值 ▲ ．14. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是与，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ▲ .二、解答题：本大题6小题，共90分，解题时要写出必要的文字说明、解题步骤.15（本小题满分14分）已知函数是的导函数。

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若的值。

16．（本小题满分14分）如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．4a B π==6A π=其中定义且内一点),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅∆114,,,()(,,),2MBC MCA MAB f P x y x y ∆∆∆=+的面积若则22221(0)x y a b a b +=>>222x y a +=)(,cos sin )(x f x x x f '+=)(x f )()()()(2x f x f x f x F +'=x x x xx f f cos sin cos sin 1),(2)2(22-+'=求l① ②③ (将l 向右平移)（1）求证：EF ∥平面CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（3）如果AB=1，一个点从F 出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D 、DA 上的点，又回到F ，指出整个线路的最小值（直接写出答案，不要过程）17．（本小题满分14分）据预测，某旅游景区游客人数在至人之间，游客人数（人）与游客的消费总额（元）之间近似地满足关系式：． （1）若该景区游客消费总额不低于元时，求景区游客人数的范围．（2）当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．18．（本小题满分16分）已知F1（－c,0）, F2（c,0） (c ＞0)是椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，圆M 的方程是． （1）若P 是圆M 上的任意一点，求证：是定值；（2）若椭圆经过圆上一点Q ，且cos ∠F1QF2=，求椭圆的离心率； （3）在（2）的条件下，若|OQ|=，求椭圆的方程．6001300xy 100000024002-+-=x x y 40000022259()416c x c y -+=12||||PF PF 35219．（本小题满分16分）数列满足，（），且从第二项起是公差为的等差数列，是的前项和．（1）当时，用与表示与；（2）若在与两项中至少有一项是的最小值，试求的取值范围；（3）若为正整数，在（2）的条件下，设取为最小值的概率是，取为最小值的概率是，比较与的大小．20．（本小题满分16分）已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e 是自然界对数的底, ).(1) 求的解析式;(2) 设，求证：当，时，；（3）是否存在负数a ，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．江苏省 高三年级第十次周练数学试卷答题纸{}n a a a =1a a -=20>a {}n a 6nS {}n a n 2≥n a n na nS 6S 7S nS a a nS 6S 1p n S 7S2p 1p 2p ()f x [)(],00,e e -(]0,x e ∈()ln f x ax x =+a R ∈()f x ln (),xg x x=[),0x e ∈-1a =-1()()2f x g x >+[),0x e ∈-()f x一、填空题：1._________________2.___________________3._________________4.____________5._________________6.___________________7._________________8.____________9._________________10.__________________11.________________12.___________13.________________14.___________________二、解答题：15.17．18．19．20．B数学试题第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟） 21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4—1 几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，且CA 平分∠BAF ，过点C 作CD ⊥AF交AF 的延长线于点D. 求证：DC 是⊙O 的切线.B ．（选修4—2 矩阵与变换）已知二阶矩阵M 有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M 对应的变换将点变换成。

（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系。

C ．（选修4—4 参数方程与极坐标）已知曲线，直线．⑴将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点在曲线上，求点到直线距离的最小值．D ．（选修4—5 不等式证明选讲）已知，求证：.解：选选8λ=111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e (1,2)-(2,4)-:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩:l (cos 2sin )12ρθθ-=l P C P l 0m a b >∈R ，，()22211a mba mbmm ++≤++【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22、（本题满分10分）如图，三棱锥中，底面于，点分别是的中点，求二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知函数f(x)=，其中n ．（1）求函数f(x)的极大值和极小值； （2）设函数f(x)取得极大值时x=，令=23，=，若p≤<q 对一切n ∈N ＋恒成立，求实数p 和q 的取值范围．江苏省 高三年级第十次周练P ABC -PB ⊥ABC B 90,2BCA PB BC CA ∠====,E F ,PC PA A BE F --021n n C x --1n C 2n x 1212131(1)n r r n r n n n n n C x C x C x +-+-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()n N +∈na nb -n a n S 12231n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+nS数 学 试 卷 答 案1.7 2． 3 3.4． 0.01 5．4 6． 7.85; 8/5 8.9．10．①③④⑤ 11.12． 或写成13.18．14.15解（1），…………………………2分……………………4分时，……………………6分最小正周期为……………………7分（2）……………………11分=……………………14分16．（1）证明:连结BD. 在长方体中，对角线.24y x =-]3,38(31n n +22π6=b 2623+=c ab πx x x f sin cos )(-=' )()()()(2x f x f x f x F +'=∴x x x x cos sin 21sin cos 22++-=)42sin(212cos 2sin 1π++=++=x x x )(82242Z k k x k x ∈+=⇒+=+∴πππππ当21)(max +=x F ππ==22T x x x x x f x f sin 2cos 2cos sin )(2)(-=+⇒'= 31tan sin 3cos =⇒=∴x x x x x x x x x x x x cos sin cos cos sin 2cos sin cos sin 122222-+=-+∴.61132911tan 11tan 22==-+x x 1AC 11//BD B D F又 E 、F 为棱AD 、AB 的中点，..又B1D1⊂≠ 平面，平面，EF ∥平面CB1D1. …………6分（2） 在长方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂≠ 平面A1B1C1D1，AA1⊥B1D1. 又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1， B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1⊂≠ 平面CB1D1，平面CAA1C1⊥平面CB1D1．…………12分（3）最小值为 …………14分如图，将正方体六个面展开，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D 、DA 上的中点，所求的最小值为 .17．解：（1）由已知：，即，解得 ---------------------------------6分又，所以景区游客人数的范围是1000至1300人 -------------7分 （2）设游客的人均消费额为，则----------------------10分当且仅当时等号成立． ----------------------------------------------------13分答：当景区游客的人数为时，游客的人均消费最高，最高消费额为元．14分18． （1）证明：设P （x,y ）是圆上的任意一点， ==3∴=3 -------------------------------5分（2）解：在△F1QF2中，F1F2=2c ，Q 在圆上，设|QF2|=x ，则|QF1|=3x，椭圆半长轴长为//EF BD ∴11//EF B D ∴11CB D EF ⊄11CB D ∴1AC∴∴∴400000100000024002≥-+-x x 0140000024002≤+-x x 14001000≤≤x 1300600≤≤x y 4002400)1000000(100000024002≤++-=-+-=x x x x x y 1000=x 100040022259()416c x c y -+=12||||PFPF 12||||PF PF2x ，4c2=x2＋9x2－6x2×，5c2=8x2e2=，e=． -----------11分 （3）由（2）知，，即，则由于|OQ|=，∴c=2，进一步由e= =得到a2=10，b2=6 所求椭圆方程是． ------------16分19．解：（1）由已知，当时，，即．．……………………………………………5分 （2）解法一：由已知，当时，是等差数列，公差为，数列递增．若是的最小值，则，即，得．若是的最小值，则，即，得． ∴ 当与两项中至少有一项是的最小值时，的取值范围是……11分（2）解法二：由（1）， 当时，，且也满足此式， ∵ 在与两项中至少有一项是的最小值，3522()25c x=522121||||4QO QF QF =+22212121222221||(||||2||||cos )41455153(2)488853416QO QF QF QF QF F QF c c c c =++∠=++⋅⋅=c a 221106x y +=2≥n )2(6-+-=n a a n )12(6+-=a n a n 62)2)(1())(1(21⋅--+--+=+++=n n a n a a a a S n n 62)9(32+++-=a n a n 2≥n {}n a 66S n S ⎩⎨⎧≥≤0076a a ⎩⎨⎧≥-≤-030024a a 3024≤≤a 7S n S ⎩⎨⎧≥≤0087a a ⎩⎨⎧≥-≤-036030a a 3630≤≤a 6S 7S nS a ]36,24[2≥n 62)9(32+++-=a n a n S n a S =16S 7S nS∴，解得，从而的取值范围是． （3）由（2）知，，26，…，}若是的最小值，则，即 若是的最小值，，即∴．……………………………………………………………………16分20.解：（1）设，则，所以. 又因为是定义在上的奇函数，所以 .故函数的解析式为 . …………………4分（2）证明：当且时，，设.因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以 (6)分又因为，所以当时，，此时单调递减，所以.所以当时，即.……………………10分5.7695.5≤+≤a 3624≤≤a a ]36,24[24{∈a 25366S nS 5.6695.5≤+≤a 30,,26,25,24 =a 7S nS 5.7695.6≤+≤a 36,,32,31,30 =a 13721==p p [,0)x e ∈-(0,]x e -∈()ln()f x ax x -=-+-()f x [,0)(0,]e e -()()ln()f x f x ax x =--=--()f x ln(),[,0)()ln ,(0,]ax x x e f x ax x x e --∈-⎧=⎨+∈⎩[,0)x e ∈-1a =-ln()()ln(),()x f x x x g x x -=---=-ln()1()2x h x x -=+-11()1x f x x x +'=--=-1e x -≤≤-()0f x '<()f x 10x -<<()0f x '>()f x min ()(1)10f x f =-=>2ln()1()x h x x --'=0e x -≤<()0h x '≤()h x max min1111()()1()222h x h e f x e =-=+<+==[,0)x e ∈-()(),f x h x >1()()2f x g x >+（3）解：假设存在负数，使得当时，有最小值是3，则.①当，由于，则，故函数 是上的增函数．所以，解得（舍去）.……………………12分②当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数． 所以，解得满足题意。