分数乘法与分数裂项法
分数乘法与分数裂项法
【专题解析】
我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。
分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。
1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。
对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。
2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。
进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。
需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。
【典型例题】——乘法分配律的妙用
例1．计算：
（1）4544×37 （2）2004×2003
67
分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的45
44
与1只相差1个分数单位，如果把4544写成（1－45
44
）的差与37相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。
同样，第（2）题
中可以把整数2004写成（2003+1）的和与200367
相乘，再运用
乘法分配律计算比较简便。
【举一反三】
计算：
（1）4443×37 （2）5756×37 （3）5756
×
56
例2．计算：
（1）72174×2417 （2）7315
1×81
分析与解：（1）72174把改写成(72 +174
)，再运用乘法分
配律计算比常规方法计算要简便得多。
（2）
73151把改写成(72 +1516)，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。
【举一反三】 计算：
（1）2074×107 （2）16136×32
13 （3）133
57×8
1 （4）64171×9
1
【小试牛刀】 计算：
（1）2928
×37 （2）29
13×28
【典型例题】——乘法交换律的巧用
例3. 计算：
（1）275×83＋277×125＋245×274 （2）41×39 +4
3
×25 +426×13
3
分析与解：（1）观察题目的特点，分子中都有5，分母
中都有27，根据乘法的交换律，凑出275
，就可以应用乘法分配律使计算简便。
（2）观察题目的特点，4
1×39可以写成43×13，426×13
3可以写成43×1326，这样每个因数中都含有43，就可以运用乘法分配律使计算简便。
【举一反三】 计算：
（1）131×74＋139×71 （2）171×65＋95×174＋185×17
6
（3）41×39 +43×27 （4）115×17 +11
1
×25
【典型例题】——有关小数、带分数的分数乘法的巧算
例4. 计算：
4131×0.75 ＋51.25×54 ＋6
5
×61.2
分析与解：先把题中的小数化成分数，再观察题目的特
点，4131写成（40+34）后可以与43
应用乘法分配律直接就算出了结果，后两个算式同样可以应用这个方法，从而使计算简便。
【举一反三】 计算：
（1）21.25×54＋31.2×65＋46.125×98 （2）853
1
×0.375＋7161×7
6
＋56.25×0.8 一、 分数裂项求和 【专题解析】
细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。
写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的两个自然数。
（这种方法称为“裂项法” ）
如：211⨯＝11—21；321⨯＝21—31；431⨯＝31—41；541⨯＝41—51
；…… 我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。
【典型例题】 例1．计算：
211⨯+321⨯+431⨯+…+49481⨯+50
491⨯ 分析与解：这道题如果按照常规方法先通分再求和，
计算起来很繁杂，甚至难以做到。
但是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。
【举一反三】 计算：（1）211⨯+321⨯+431⨯+…+19181⨯+20
191
⨯
（2）12111⨯+13121⨯+14131⨯+…+200920081⨯+2010
20091
⨯
例2．计算：
61+121+201+…+2450
1 分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，
但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？仔细观察这些分数的分母就会发现：6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自然数乘积的形
式。
【举一反三】 计算：
（3）21+61+121+201+…+90
1 （4）201+301+421+…+1321+1561
例3. 计算：
514⨯+954⨯+1394⨯+…+2005
20014⨯
分析与解：这道题中每一个分数的分母都可以写成不相邻
的两个自然数乘积的形式，分子是这两个自然数的差。
这样每一个分数也都可以写成两个分数差的形式，写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是原分数中分母上的两个自
然数。
如：514⨯＝1
1—51；954⨯＝51—91
等等。
【举一反三】 计算：（5）725⨯+1275⨯+17
125⨯+…+102975
⨯
（6）523⨯+853⨯+1183⨯+…+35
323
⨯
例4. 计算：
511⨯+951⨯+1391⨯+…+2005
20011⨯
分析与解：是不是觉得本题和例3有些相似，但又不完
全一样？例3中每一个分数的分子都是4（两个自然数的差），而这道题中每一个分数的分子都是1，可以直接将每一个分数写成两个分数相减的形式吗？该怎么计算呢？
这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也变成两个自然数的差呢？利用分数的基本性质是完全可以的。
所以给原题乘4，为了使原题的值不变，然后再除以4.
【举一反三】 计算：
（7）721⨯+1271⨯+17121⨯+…+102971⨯ （8）1051⨯+15101⨯+20
151⨯+…+45401
⨯
例5. 计算：
211++3211+++43211++++…+50
43211
+⋯++++ 分析与解：先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每
一个分数，找出规律然后计算。
【举一反三】 计算：（9）211++3211+++43211++++…+20
43211
+⋯++++
（10）211++3211+++43211++++…+100
43211
+⋯++++
课后作业
1、计算
75×7647 157×15623 21171
×4217 21173×20
17
31+531++7531+++…+21
7531+⋯+++ 111
......101111125960+++
⨯⨯⨯
11111111612203042567290
+++++++=。