2014年高中数学 2-3 幂函数同步测试（含解析，含尖子生题库）
新人教A 版必修1
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论中，正确的是( )
A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B ．幂函数的图象可以出现在第四象限
C ．当幂指数α取1,3，12
时，幂函数y ＝x α是增函数 D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数
解析： 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；
当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是
减函数，故选项D 不正确．
答案： C
2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A ．y ＝x 12
B ．y ＝x 4
C ．y ＝x －2
D ．y ＝x 13
解析： 函数y ＝x 12
定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A 不正确； 函数y ＝x 4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，
故B 正确；
函数y ＝x －2不过点(0,0)，故C 不正确；
函数y ＝x 13
是奇函数，故D 不正确． 答案： B
3．设α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α是奇函数且在(0，＋∞)上是单调递减的α的值的个数是( )
A ．3
B ．4
C ．2
D ．1
解析： 把α逐个代入可知α＝－1时符合．
答案： D
4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n
在第一象限内的图象，则( )
A ．－1<n <0,0<m <1
B ．n <－1,0<m <1
C ．－1<n <0，m >1
D ．n <－1，m >1
解析： 由图知，y ＝x m 在[0，＋∞)上是增函数，y ＝x n 在(0，＋∞)上为减函数，所以
m >0，n <0.又当x >1时，y ＝x m 的图象在y ＝x 下方，y ＝x n 的图象在y ＝x －1的下方，所以m <1，
n <－1，从而0<m <1，n <－1.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列六个函数①y ＝x 53，②y ＝x 34，③y ＝x －13，④y ＝x 23
，⑤y ＝x －2，⑥y ＝x 2中，定义域为R 的有________．(填序号) 解析： 函数①④⑥的定义域为R ，函数②定义域为[0，＋∞)，③⑤的定义域为{x |x ≠0}． 答案： ①④⑥
6．若幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭
⎫9，13，则f (25)的值为________． 解析： 设幂函数y ＝x α，过点⎝⎛⎭⎫9，13，则13
＝9α， ∴α＝－12
， ∴y ＝x －12，则f (25)＝25－12＝15
. 答案： 15
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f (x )的解析式．
解析： ∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数，∴f (x )＝x 4.
8．已知幂函数f (x )＝x a 的图象经过点A ⎝⎛⎭
⎫12，2. (1)求实数a 的值；
(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．
解析： (1)∵f (x )＝x a 的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2， ∴⎝⎛⎭⎫12a ＝2，
即2－a ＝212，∴a ＝－12
. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 2)－f (x 1)＝x 2－12－x 1－12 ＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2
＝x 1－x 2x 1x 2·(x 1＋x 2)
. ∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，
且x 1x 2·(x 1＋x 2)>0，
于是f (x 2)－f (x 1)<0，
即f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )＝x －12
在区间(0，＋∞)内是减函数． 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知幂函数f (x )＝x 1m 2＋m
(m ∈N *)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
解析： (1)∵m ∈N *，
∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数．
令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，则f (x )＝x 12k ＝2k x ， ∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数．
(2)∵2＝21m 2＋m
，∴m 2＋m ＝2， 解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，
∴f (x )＝x 12，令2－a >a －1≥0，可得1≤a <32
.。