第二章 状态空间表达式的解
3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110
A （4） ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=000010000100
0010
A （6）⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：
（1） （2） （3） （4）
特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201
P
线性变换后的系统矩阵为：
（5）
为结构四重根的约旦标准型。
（6）
虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0
100010000{
])[()(1
111----⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：
（1） （2）
特征方程为： 特征值为：
2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：
0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：
对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==11001000132
1
P P P P ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：
（3）
特征值为：
2,1321===λλλ。
即
(4)
3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A 。
（1）⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Φt t t t t sin cos 0cos sin 0001
)(（2）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ--t
t e e t 220)1(5.01)( （3）⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡+--+--=Φ--------t t t
t
t t t
t e e e e e e e e t 22222222)(（4）⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡++-+-+=Φ----t t t
t t t t t e e e e e e e e t 33335.05.025.025.05.05.0)(
【解】：
（1）
∴不满足状态转移矩阵的条件。
（2）
∴满足状态转移矩阵的条件。
由)()(t A t Φ=Φ
，得A A =Φ=Φ)0()0( 。
∴⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=⇒⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=Φ=----2010200)0(,200)(02222t t
t t t e e A e e t （3）
∴满足状态转移矩阵的条件。
（4）
∴满足状态转移矩阵的条件。
3-2-4 已知线性时变系统为x t t x
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=21
12 ，试求系统的状态转移矩阵。
【解】：
取)(*)()(*)(,21
12)(,21
12)(122122
211
1t A t A t A t A t t t A t t t A =⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=得： 3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为u x x
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210 ，初始条件为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=11)0(x 试
求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。
【解】：
3-2-6 已知线性定常系统的状态空间表达式为[]x y u x x
21,026510=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= ，已知
状态的初始条件为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1
0)0(x ，输入量为)0()(≥=-t e t u t
，试求系统的输出响应。
【解】：
3-2-7线性定常系统的齐次方程为)(t Ax x
= ，已知当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21)0(x 时，状态方程的解为 ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=--t
t e e t x 222)(；而当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x 时，状态方程的解为⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=--t t e e t x )(，试求： (1)系统的状态转移矩阵)(t Φ； (2)系统的系数矩阵A 。
【解】：
t e 212112-=-φφ，t e 2222122--=-φφ t e -=-1211φφ，t e --=-2221φφ
3-2-8 已知线性时变系统为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=11)0(,010x x t x
，试求系统状态方程的解。
【解】：
对任意时间t 1和t 2有⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡=2211010)(,010)(t t A t t A 得：)(*)()(*)(1221t A t A t A t A ≠
所以有
3-2-9 已知线性定常离散系统的状态空间表达式为 若)(1kT u 与)(2kT u 为同步采样时，且)(1kT u 是来自斜坡函数t 的采样，即t t u =)(1，)(2kT u 是来自指数函数t e t u -=)(2的采样。
试求系统的输出响应y （KT ）。
【解】： 方法一：
利用Z 变换的方法求解：
=第一部分+第二部分
第二部分为：
所以第一部分的Z 反变换为： 所以第二部分的Z 反变换为： 方法二：
利用递推算法求解差分方程组： 特征方程为: 特征值为:
625.0,375.021==z z 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111P ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=-5.05.05.05.01P 利用∑=Φ+
Φ=1
-k 0
j 1)Hu(j)-j -(k (k)x(0))(k x
得：
3-2-10 已知连续系统的状态方程为： 系统的初始状态为⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡201)0()0()0(321x x x
试求当控制序列为)1(2)(秒==T kT kT u 时离散系统的状态)(kT x 。
【解】：
利用递推算法求解差分方程组：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==Φ011220001)1(1
G ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==Φ221422001)2(2
G
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==Φ421406001)3(3G ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==Φ4050410001
)4(4
G
3-2-11 已知离散系统的结构图如题3-2-11图所示，
题3-2-11图
(1)求系统离散化的状态空间表达式；
(2)当采样周期1.0=T 秒时，输入为单位阶跃函数，且初始条件为零时离散系统的输出)(kT y 。
【解】：
方法一：
①依据方框图求闭环脉冲传递函数： 当采样周期1.0=T 秒时
②依据闭环脉冲传递函数写出状态空间表达式： ③求零初始条件下单位阶跃输入的输出)(kT y 。
又因为输入为单位阶跃函数，且初始条件为零，所以 方法二：
系统中连续时间被控对象的传递函数为：
系统中连续时间被控对象的状态空间表达式为： 状态转移矩阵为：
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=--t t e e 20
0(对角标准型也可直接写) 故被控对象的离散化状态方程为：
根据系统结构图，系统输入量为)(t r ，输出为)(t y ，而被控对象的输入)()()()()()(21t x t x t r t y t r t u +-=-=，所以系统的离散化方程为：
系统输出方程为：
令1.0=T 秒，离散化状态方程为：
当输入为单位阶跃函数，初始条件为零时离散系统的输出为：
)]()[()(11z Hu G zI CZ k y ---=可得。
或与方法一一样，利用∑-=--Φ+Φ=1
)()1()0()()(k j j Hu j k x k k x
一步一步地求。
3-2-12 线性时变系统的状态方程为u x e e x t
t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-=--0550)1(5055 ，求采样周期T=0.2秒时，系统的离散化方程。
【解】：
由于采样周期较小，可以采用近似离散化的方法。