必修五阶段测试四(本册综合测试 )时间： 120 分钟满分： 150 分一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共60 分 )3x－1≥ 1 的解集是 ()1．不等式2－x3≤ x≤23≤ x<2C. x3D ．{ x|x<2}A. x 4B. x 4x>2或 x≤42． (2017 存·瑞中学质检 )△ ABC 中， a＝ 1， B＝ 45°， S△ABC＝2，则△ ABC 外接圆的直径为 () A ．4 3 B ．5C． 5 2D． 6 23．若 a<0 ，则关于 x 的不等式22) x － 4ax－5a>0 的解为 (A ．x>5a 或 x<－ a B．x>－ a 或 x<5a C．－ a<x<5a D． 5a<x<－a114．若 a＞ 0， b＞ 0，且 lg(a＋ b)＝－ 1，则a＋b的最小值是 ()5A. 2B． 10C． 40D． 805．设 S n为等差数列 { a n} 的前 n 项和，若 a1＝ 1， a3＝ 5，S k＋2－ S k＝ 36，则 k 的值为 ()A ．8B． 7C． 6 D ．56．若 a， b， c∈R， a>b，则下列不等式成立的是()1 111a bA. a<bB. a2>b2C.c2＋1>c2＋ 1D． a|c|>b|c|7．已知等差数列 { a n} 的公差为d(d≠ 0)，且 a3＋ a6＋ a10＋ a13＝ 32，若 a m＝ 8，则 m 的值为 () A ．12B． 8C． 6 D ． 4x＋ y≤8，8．若变量 x，y 满足约束条件2y－ x≤4，且 z＝ 5y－ x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a— b 的值是x≥ 0，y≥ 0，()A ．48B． 30C． 24D． 1617S n－S2 n*为数列 { T n} 9．设 { a n} 是等比数列，公比 q＝ 2，S n为 { a n} 的前 n 项和，记 T n＝(n∈N )，设 Tn0a n＋1的最大项，则 n0＝ ()A ．2B． 3C． 4 D ．510．设全集 U＝R， A＝ { x|2(x－ 1)2<2}122，，B＝ { x|log (x ＋ x＋ 1)> －log2(x ＋ 2)}2则图中阴影部分表示的集合为()A ．{ x|1≤ x<2}B ． { x|x ≥ 1}C ． { x|0<x ≤1}D ． { x|x ≤ 1}11．在等比数列 { a n } 中，已知 a 2＝ 1，则其前三项的和 S 3 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－ 1]B ． (－∞， 0]∪ [1，＋∞ )C ． [3，＋∞ )D ． (－∞，－ 1]∪ [3，＋∞ )12．(2017 山·西朔州期末 )在数列 { a n } 中， a 1＝ 1，a n ＋1＝ a n ＋ n ＋ 1，设数列1的前 n 项和为 S n ，若 S n <ma n对一切正整数 n 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ()A ．(3，＋∞ )B ． [3，＋∞ )C ． (2，＋∞ )D ． [2，＋∞ )二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 )13．(2017 福·建莆田二十四中期末 )已知数列 { a n } 为等比数列， 前 n 项的和为S n ，且 a 5＝ 4S 4＋ 3，a 6＝ 4S 5＋ 3，则此数列的公比 q ＝ ________.14． (2017 ·山一中期末唐 )若 x>0， y>0， x ＋ 2y ＋2xy ＝ 8，则 x ＋ 2y 的最小值是 ________．15．如右图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于 3a km ，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°.灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ________．16．已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 三个内角 A ， B ， C 的对边， a ＝ 2，且 (2＋ b)(sinA －sinB) ＝(c － b)sinC ，则△ ABC 面积的最大值为 ________．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17． (10 分)(2017 山·西太原期末 )若关于 x 的不等式 ax 2＋3x － 1>0 的解集是 x1<x<1 .2(1)求 a 的值；22(2)求不等式 ax －3x ＋ a ＋ 1>0 的解集．→ → 1，b ＝ 3.18.(12 分 )在△ ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a>c.已知 BA ·BC ＝ 2， cosB ＝3求：(1)a 和 c 的值；(2)cos(B － C)的值．119． (12 分)(2017 辽·宁沈阳二中月考 )在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，且 cosA ＝ 3.(1)求 sin 2B ＋ C ＋cos2A 的值；2(2)若 a ＝ 3，求 bc 的最大值．20.(12 分 )(2017 长·春十一高中期末 )设数列 { a n } 的各项都是正数，且对于n ∈ N * ，都有 a 13＋ a 23＋ a 33＋, ＋~32a n＝ S n，其中 S n为数列 { a n} 的前 n 项和．(1)求 a2；(2)求数列 { a n} 的通项公式．x＋ 2y≤ 2n，21． (12 分)已知点 (x， y)是区域x≥ 0，( n∈N＋ )内的点，目标函数 z＝x＋ y， z 的最大值记作 z n.y≥ 0若数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，a1＝1，且点 ( S n， a n)在直线 z n＝x＋ y 上．(1)证明：数列 { a n－ 2} 为等比数列；(2)求数列 { S n} 的前 n 项和 T n .22.(12 分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12 万元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设 f(n)表示前 n 年的纯利润总和 (f(n)＝前 n 年的总收入－前 n 年的总支出－投资额 )．(1)该厂从第几年起开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48 万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16 万元出售该厂，问哪种方案更合算？答案与解析3x－ 1≥1，可得 3x－ 1－1≥0，所以 3x－ 1－ 2－ x≥ 0，即4x－3≥ 0，所以4x－ 3 x－ 2 ≤ 0，x－2≠ 0，1．B 由2－x2－x2－ x2－ x 3解得≤ x<2.故选 B.12． C∵ S△ABC＝2acsinB＝2，1 2∴2× 1×2 c＝ 2，∴ c＝4 2，∴b2＝ c2＋ a2－ 2accosB＝ 32＋1－ 2× 1× 4 2×2＝ 25，2∴ b＝ 5，∴外接圆的直径为b＝5＝ 52，故选 C. sinB223． B(x＋ a)(x－ 5a)>0. ∵a<0,∴－ a>5a.∴ x>－ a 或 x<5a，故选 B.4． C1 ，若 lg(a＋ b)＝－ 1，则 a＋b＝10∴1＋1＝ 101＋1(a＋b)＝a ba b~b a 10 2＋a ＋b ≥ 10(2＋ 2)＝ 40.当 a ＝b ＝ 201时，“＝”成立，故选 C.5－ 15． A ∵ a 1＝ 1， a 3＝ 5，∴公差 d ＝＝ 2，∴ a n ＝ 1＋2(n － 1)＝ 2n － 1，S k ＋2－ S k ＝ a k ＋2＋ a k ＋1＝ 2(k ＋ 2)－ 1＋ 2(k ＋ 1)－ 1＝ 4k ＋ 4＝ 36，∴ k ＝ 8，故选 A.1ab6． C ∵ a>b ， c 2＋ 1>0 ，∴ c 2＋ 1>c 2＋ 1，故选C.7． B 由等差数列的性质知， a 3＋a 6 ＋a 10＋a 13＝ 4a 8＝ 32，∴ a 8＝ 8.又 a m ＝8，∴ m ＝ 8.8． C如图所示，当直线z ＝ 5y － x 经过 A 点时 z 最大，即 a ＝16，经过 C 点时 z 最小，即 b ＝－ 8，∴ a － b ＝24，故选 C.9． A S n ＝ a 1 2n － 1na 1 22n － 1 ＝ a 1(2 2nn＝ a 1(2 － 1)， S 2n ＝2－ 1 － 1)， a n ＋1 ＝ a 1·2 ，2－ 1∴ T n ＝ 17S n －S 2n ＝ 17a 1 2n －1 － a 1 22n－ 1 ＝ 17－ n16 ≤17－ 8＝ 9，当且仅当 n ＝ 2 时取等号，∴数 a n ＋1 n2 ＋ 2 na 1·2列{ T n } 的最大项为 T 2，则 n 0＝ 2，故选 A.10． A由 2(x － 1)2<2，得 (x － 1)2<1. 解得 0<x<2.1 2 2∴ A ＝ { x|0<x<2} ．由 log (x ＋ x ＋ 1)>－log 2 (x ＋ 2)，2得 log 2(x 2＋ x ＋ 1)<log 2 (x 2＋ 2)．x 2＋ x ＋ 1>0，则 x 2＋ 2>0，解得 x<1.x 2＋ x ＋ 1<x 2＋ 2.∴ B ＝ { x|x<1} ．∴ ?U B ＝ { x|x ≥ 1} ． ∴阴影部分表示的集合为(?U B)∩ A ＝ { x|1≤ x<2} ．11． D 设数列 { a n } 的公比为 q ，则 a 2＝ a 1q ＝1，∴ q ＝ 1 ，a 121，当 a 1>0 时， S 3≥ 1＋ 21＝ 3，当且仅当 a 1＝ 1 时，∴ S 3＝ a 1＋ a 2＋ a 3＝a 1＋a 1q ＋ a 1q ＝ a 1＋ 1＋a 1 a 1·a 1~取等号；当 a 1<0 时， S 3≤1－ 2＝－ 1，当且仅当 a 1＝－ 1 时，取等号．故 S 3 的取值范围是 (－∞，－ 1] ∪[3，＋∞ )． 12． D a 1＝ 1， a n ＋ 1－ a n ＝n ＋ 1，a n ＝ (a n － a n － 1)＋ (a n － 1－a n － 2)＋ , ＋ (a 2－ a 1)＋ a 1＝ (n － 1＋1) ＋(n － 2＋ 1)＋, ＋ (1＋ 1)＋ 1＝ n ＋ (n －1) ＋(n － 2)＋, ＋ 2＋ 1＝ n n ＋ 1，2 当 n ＝1 时，也满足上式，∴ a n ＝ n n ＋ 1 ，2121 1 a n ＝ n n ＋ 1＝ 2 n －n ＋ 1 ，∴ S n ＝ 2 1－1＋ 1－1＋, ＋ 1 －1＝2 2 3n n ＋ 112 1－ n ＋ 1 .∵ S n <m 对一切正整数 n 恒成立，∴ m ≥2，故选 D.13． 5解析： 由题可得 a 5－ a 6＝ 4S 4－ 4S 5＝－ 4a 5，∴ a 6＝ 5a 5，∴ q ＝ 5.14． 4解析： ∵ x ＋ 2y ＋2xy ＝ 8，又2xy ≤ x ＋ 2y 2， 2∴ x ＋ 2y ＋x ＋ 2y 2≥ 8，212∴ 4(x ＋ 2y) ＋ x ＋ 2y －8≥ 0，∴ x ＋ 2y ≥ 4，当且仅当 x ＝ 2y ＝2 时，等号成立．∴ x ＋ 2y 的最小值为 4.15.3a km解析： 由题意知，∠ ACB ＝120°，∴ AB 2＝ 3a 2＋ 3a 2－ 2 3a × 3acos120°＝ 9a 2,∴ AB ＝ 3a km. 16. 3解析： 由正弦定理及 (2＋ b)(sinA － sinB)＝ (c － b)sinC ，得 (2＋b)( a －b) ＝(c － b)c ，又 a ＝2，∴ b 2＋ c 2－ a 2＝ bc.由余弦定理得cosA ＝ b 2＋c 2－ a 2＝ 1，∴ A ＝ 60°. 2bc ＝ bc2bc 2又 22＝ b 2＋ c 2－ 2bccos60°＝ b 2＋ c 2－ bc ≥ 2bc － bc ，∴ bc ≤4.当且仅当 b ＝ c 时取等号．∴ S1 1 × 4× 3 ABC ＝ bcsinA ≤＝ 3.△2222117． 解： (1) 依题意，可知方程 ax ＋3x － 1＝ 0 的两个实数根为 和 1，∴12＋ 1＝－ 3a 且12× 1＝－ 1a 解得 a ＝－ 2，∴ a 的值为－ 2，(2)由 (1) 可知，不等式为－ 2x 2－ 3x ＋ 5>0 ，即 2x 2＋ 3x － 5<0，∵方程 2x 2＋ 3x － 5＝ 0 的两根为 x 1＝ 1， x 2＝－ 52，∴不等式 ax 2－ 3x ＋ a 2＋1>0 的解集为 x －5<x<1 .2→ →118． 解： (1) 由BA ·BC ＝ 2 得 c ·acosB ＝ 2，又 cosB ＝ ，所以 ac ＝ 6.3由余弦定理，得 a 2＋ c 2＝ b 2＋ 2accosB.又 b ＝3，所以 a 2＋c 2＝9＋ 2× 2＝13.解ac ＝ 6，得 a ＝ 2， c ＝3 或 a ＝ 3， c ＝ 2.a 2＋ c 2＝ 13，因 a>c ，所以 a ＝3， c ＝ 2.2122 2(2)在△ ABC 中， sinB ＝1－ cos B ＝1－ 3 ＝ 3 ，c 2 2 2 4 2 由正弦定理，得 sinC ＝ b sinB ＝ 3× 3 ＝ 9 .因 a ＝b>c ，所以 C 是锐角，因此cosC ＝21－ 4 227 1－ sin C ＝＝ .9 9于是 cos(B － C)＝ cosBcosC ＋ sinBsinC ＝1× 7＋2 2×42＝233 93927.119.解： (1) 在△ ABC 中，∵ cosA ＝ 3，∴ sin 2B ＋ C ＋ cos2A ＝1[1－ cos(B ＋ C)] ＋2cos 2 A － 1＝1(1 ＋cosA)＋ 2cos 2A －1＝－ 1.2229(2)由余弦定理知 a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bccosA ，22 2 2 4 ∴ 3＝ b＋c－ bc ≥ 2bc － bc ＝ bc ，333∴ bc ≤9，当且仅当 b ＝ c ＝3时，等号成立，42∴ bc 的最大值为 94.20． 解： (1) 在已知式中，当 n ＝1 时， a 31 ＝a 21，∵ a 1>0，∴ a 1 ＝1，当 n ≥2 时， a 31＋ a 32＋a 33＋, ＋ a 3n ＝ S 2n ，①33332a 1＋ a 2＋ a 3＋, ＋ a n － 1＝ S n － 1，②①－②得 a 3n ＝ a n (2a 1＋ 2a 2＋, ＋ 2a n － 1＋ a n )．∵ a n >0，∴ a 2n ＝ 2a 1＋ 2a 2＋, ＋ 2a n － 1＋a n ，即 a 2n ＝ 2S n － a n ， ∴ a 22＝ 2(1＋ a 2 )－ a 2，解得 a 2＝－ 1 或 a 2＝ 2，∵ a n >0，∴ a 2＝ 2.2*(2)由 (1) 知 a n ＝ 2S n － a n (n ∈ N )，③2当 n ≥2 时， a n － 1＝ 2S n －1 －a n － 1，④③－④得 a 2n － a 2n －1＝ 2(S n －S n －1)－ a n ＋ a n － 1＝2a n － a n ＋ a n － 1＝ a n ＋ a n － 1.∵ a n ＋ a n －1>0，∴ a n － a n － 1＝ 1，∴数列 { a n } 是等差数列，首项为 1，公差为 1，可得 a n ＝n.21.解： (1) 证明：由已知当直线过点 (2n,0)时，目标函数取得最大值，故z n ＝ 2n.∴方程为 x ＋ y ＝ 2n.∵ (S n ， a n )在直线 z n ＝ x ＋y 上，∴ S n ＋ a n ＝2n.①∴ S n －1 ＋a n － 1＝ 2(n －1) ，n ≥ 2.②由①－②得， 2a n －a n － 1＝ 2，n ≥ 2.∴ a n －1＝ 2a n － 2，n ≥ 2.又∵ a n － 2 ＝ a n － 2 ＝a n － 2＝1， n ≥ 2，a － 2＝－ 1， a n － 1－ 2 2a n －2－ 2 2 a n －2 21∴数列 { a － 2} 是以－ 1 为首项，1为公比的等比数列．n2(2)由 (1) 得 a n － 2＝－1n － 1，∴ a n ＝ 2－ 1 n －1 .22 ∵ S n ＋ a n ＝ 2n ，∴ S n ＝ 2n － a n ＝ 2n － 2＋1n －1 .21 011 n － 1∴ T n ＝ 0＋ 2＋ 2＋ 2 ＋, ＋2n － 2＋ 2＝ [0＋ 2＋, ＋ (2n － 2)]＋10＋1 ＋, ＋1 n － 12221 n＝ n 2n － 2 1－ 221 n －12 ＋＝ n － n ＋ 2－2 .1~~~~22． 解：由题意知 f( n)＝ 50n － 12n ＋n n － 1× 4 －72＝－ 2n 2＋40n － 72.2(1)由 f(n)>0，即－ 2n 2＋ 40n － 72>0 ，解得 2< n<18.由 n ∈N ＋ 知，该厂从第 3 年起开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润f n＝40－ 2 n ＋36，nn3636∵ n ＋ n ≥ 2 n × n ＝ 12，当且仅当 n ＝ 6 时取等号，∴f n≤ 40－ 2× 12＝ 16. n因此方案①共获利16× 6＋ 48＝ 144( 万元 )，此时 n ＝ 6.方案②： f(n) ＝－ 2(n － 10)2＋ 128.从而方案②共获利 128＋ 16＝ 144(万元 )．比较两种方案， 获利都是 144万元，但由于第一方案只需6 年，而第②种方案需要 10 年，因此，选择第①种方案更合算．。