习题51．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。

(1) 左矩形公式：⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()((2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f ba-≈⎰(3) 中矩形公式：⎰-+≈baa b ba f dx x f ))(2()( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f baba -=≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=--ba ba ba ba dx a f x f dx a f dx x f ab a f dx x f ))()(()()())(()(),()(21)()()()(2ηηξf a b dx a x f dx a x f ba b a'-=-'=-'=⎰⎰),(,b a ∈ηξ(2) )()(b f x f ≈，⎰⎰-=≈b abaa b a f dx b f dx x f ))(()()(⎰⎰⎰⎰-=-≈--b a b a b a ba dxb f x f dx b f dx x f a b b f dx x f )]()([)()())(()()()(21)()()()(2ηηξf a b dx b x f dx b x f ba b a'--=-'=-'=⎰⎰，),(,b a ∈ηξ(3) 法1 )2()(ba f x f +≈ ， ⎰⎰-+=+≈ba baa b b a f dx b a f dx x f ))(2()2()(⎰-+-baa b b a f dx x f ))(2()(⎰⎰+-=b a b a dx b a f dx x f )2()( dx b a f x f b a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2()( dx b a x f b a x ba fb a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-''++-+'=2)2)((21)2)(2(ξ dx b a x f dx b a x b a f ba b a 2)2()(21)2()2(⎰⎰+-''++-+'=η3))((241a b f -''=η 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。

作一次多项式 )(x H 满足 )2()2(b a f b a H +=+，)2()2(ba fb a H +'=+'，则有 )2)(2()2()(ba xb a f b a f x H +-+'++= 2)2)((!21)()(b a x f x H x f +-''=-ξ， ),(b a ∈ξ))(2())(2()(a b ba f ab b a H dx x H ba -+=-+=⎰ 于是dx x H dx x f a b b a f dx x f b a ba ba⎰⎰⎰-=-+-)()()()2()( []dx b a x f dx x H x f baba2)2(!2)()()(+-''=-=⎰⎰ξ 32))((241)2(2)(a b f dx b a x f b a -''=+-''=⎰ηη 2．考察下列求积公式具有几次代数精度：（1）⎰'+≈1)1(21)0()(f f dx x f ；（2）)31()31()(11f f dx x f +-≈⎰-。

解： （1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右； 当x x f =)(时，左21=，右=21210=+，左=右； 当2)(x x f =时，左=31，右=1，左≠右，代数精度为1。

（2）当1)(=x f 时，左=2，右=2，左=右；当x x f =)(时，左=0，右=031)31(=+-，左=右； 当2)(x x f =时，左32=，右323131=+=，左=右； 当3)(x x f =时，左0=，右0)31()31(33=+-=，左=右；当4)(x x f =时，左52=，右92)31()31(22=+=，左≠右。

代数精度为3。

3．确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。

（1）⎰-++-≈11)](3)(2)1([31)(βαf f f dx x f ；（2）)]()([)()]()([2)(2b f a f a b a b f a f ab dx x f bb'-'-++-≈⎰-； （3）)1()0()1()(21110f a f a f a dx x f ++-≈⎰-。

解：)1( 当1)(=x f 时，左2=，右2)321(31=++=，左=右； 当x x f =)(时，左0=，右)321(31βα++-=， 当2)(x x f =时，左32=，右)321(3122βα++=； 要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当α、β满足0)321(31=++-βα 32)321(3122=++βα 132=+βα13222=+βα)21(31αβ-=1)21(31222=-+αα3144622=+-+ααα 024102=--αα 01252=--αα56156512,1±=±=α ， 156251)61(521312,1μ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±-=β 求积公式（1）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-≈⎰-)156251(3)561(2)1(31)(11f f f dx x f （A ）求积公式（2）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-≈⎰-)156251(3)561(2)1(31)(11f f f dx x f （B ）当3)(x x f =时，（A ）的左端为1。

（A ） 的右端1)156251(3)561(213133≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++⨯+-=（B ） 的右端1)156251(3)561(213133≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⨯+-=∴ （A ）和（B ）的代数精度均为2。

（2）[]⎰'-'-++-≈bab f a f a b b f a f ab dx x f )]()([)()()(2)(2α 当1)(=x f 时，左a b -=，右a b ab -=+-=)11(2当x x f =)(时，左)(2122a b -=，右)(21][222a b b a a b -=+-= 当2)(x x f =时，左)(3133a b -=，右)2)(()(222b a a b b a a b --++-=αα])(2)(21)[(222a b a b a b --+-=α 要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当)(31])(2)(21)[(33222a b a b a b a b -=--+-α)(31)(2)(2122222a ab b a b a b ++=--+α )2(61)(2222a ab b a b +-=-α 121=α)]()([)(121)]()([2)(2b f a f a b b f x f a b dx x f ba'-'-++-≈⎰ 当3)(x x f =时，左),(41443a b dx x b a-==⎰ 右]33[)(121][222233b a a b b a a b --++-= ])(222[4)(22222a b b ab a a b --+--=2222222))((41))((21a b a b b ab a a b ---+--=)]2(222)[(41222222a ab b b ab a a b +--+--= )(4144a b -= 当4)(x x f =时，左)(51554a b dx x b a-==⎰，5b 的系数51=。

右)44()(121][233244b a a b b a a b --++-=，其中5b 的系数5161)4(12121≠=-⨯+=。

因而 代数精度为3。

5．设函数)(x f 由下表给出：x 1.6 1.8 2.0 2..2 2.4 2.6 )(x f 4.953 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464x 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 )(x f 16.445 20.086 24.533 29.964 36.598 44.701解： x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4)(x f 6.050 7.389 9.025 11.023 13.464 16.445 20.086 24.533 29.964(1) 复化梯形公式2.0=h ， ih x i +=8.1，8,,2,1,0Λ=i])())()((21[71808∑=++=i i x f x f x f h T023.11025.9389.7)964.29050.6(21[2.0++++⨯=]533.24086.20445.16464.13++++ 9149.23=（2）4.0=h)]2.2()0.2(4)8.1([64.04f f f S ++=)]6.2()4.2(4)2.2([64.0f f f +++ )]4.3()2.3(4)0.3([64.0)]0.3()8.2(4)6.2([64.0f f f f f f ++++++)]0.3()6.2()2.2([2)4.3()8.1({64.0f f f f f ++⨯++=)]}2.3()8.2()4.2()0.2([4f f f f +++⨯+]086.20464.13025.9[2964.29050.6{64.0++⨯++=]}533.24445.16023.11389.7[4+++⨯+9149.23=（3） Romberg 算法8442221111T S T C S T R C S T8112.28)]4.3()8.1([28.14.31=+-=f f T 1768.25)]6.2(6.1[2112=⨯+=f T T2328.24))]0.3()2.2((8.0[2124=+⨯+=f f T T))]2.3()8.2()4.2()0.2((4.0[2148f f f f T T +++⨯+=9944.23=9653.233134121=-=T T S9181.233134242=-=T T S9149.233134483=-=T T S91495.231511516121=-=S S C 91469.231511516242=-=S S C91469.236316364121=-=C C R 7．试用复化梯开公式计算曲线x x f tan )(=在区间[4,0π]上这一段的弧长，取31021-⨯=ε。