高二数学试卷（全卷满分160分,考试时间1２０分钟) 2016.01注意事项:1． 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效.一、填空题(本大题共1４小题，每小题5分，共7０分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.命题“210x R x x ∀∈++>，”的否定是 .2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量之比为2∶3∶５，现用分层抽样的方法抽取容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为 ．３. 在区间]4,0[上任取一个实数x ,则2x >的概率是 ．4． 根据如图所示的伪代码,如果输入x 的值为0，则输出结果y 为 .5.若()5sin f x x =，则()2f π'= .6．在三张奖券中有一、二等奖各一张,另一张无奖,甲乙两人各抽取一张（不放回)，两人都中奖的概率为 .7.如右图，该程序运行后输出的y 值为 ．8．一个圆锥筒的底面半径为3cm ,其母线长为5cm ，则这个圆锥筒的 体积为 3cm .９.若双曲线22143x y -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线上一点,13PF =，则2PF = ．1０．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若α∥β,l α⊥,则l β⊥;②若l ∥m ,l α⊂,m β⊂，则α∥β； ③若m α⊥,l m ⊥,则l ∥α; ④若l ∥α，l β⊥,则αβ⊥．其中真命题的序号．．有 .(写出所有正确命题的序号．．)1１.已知抛物线2y =的准线恰好是双曲线22214x y a -=的左准线，则双曲线的渐近线方程为 .12．已知可导函数)(x f )(R x ∈的导函数)(x f '满足()f x <)(x f ',则不等式2016()(2016)x f x f e -≥的解集是 ．１3．若椭圆的中心为坐标原点,长轴长为4，一条准线方程为4x =-,则该椭圆被直线1y x =+截得的弦长为 ．14.若0,0a b >>,且函数2()(3)xf x ae b x =+-在0x =处取得极值,则ab 的最大值等于 ．CMDBNQA二、解答题:（本大题共６小题,计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)某班40名学生某次数学考试成绩（单位:分）的频率分布直方图如图所示．（学生成绩都在[]50,100之间）（1）求频率分布直方图中a 的值； （２)估算该班级的平均分；(3）若规定成绩达到8０分及以上为优秀等级,从该班级40名学生中任选一人,求此人成绩为优秀等级的概率．１6.（本小题满分14分)如图，在四面体ABCD 中,AB CD ⊥,AB AD ⊥．M ，N ，Q 分别为棱AD ，BD ,AC 的中点.(1）求证：//CD 平面MNQ ；(２)求证：平面MNQ ⊥平面ACD ．１7.(本小题满分1５分）已知命题:p “存在2,20x R x x m ∈-+≤”，命题q :“曲线22151x y m m+=-+表示焦点在x 轴上的椭圆”,命题:r 1t m t <<+（１)若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围； （2）若q 是r 的必要不充分条件,求t 的取值范围．18.(本小题满分1５分)已知函数32()39f x x x x a =-+++.(1）当2a =-时，求()f x 在2x =处的切线方程;（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为22,求它在该区间上的最小值.1９.(本小题满分16分）椭圆2222:b y a x E +)0(1>>=b a 经过点，且离心率为22，过点P 的动直线l 与椭圆相交于B A ,两点．(1）求椭圆E 的方程;(２)若椭圆E 的右焦点是P ,其右准线与x 轴交于点Q ,直线AQ 的斜率为1k ,直线BQ 的斜率为2k ,求证：120k k +=;（３） 设点(),0P t 是椭圆E 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点),是否存在与点P 不同的定点Q ,使得QA PAQB PB=恒成立?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在,说明理由.2０.(本小题满分16分)已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-,1)(-=x x g（1)求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()()0f x g x a -+=在区间1(,)e e上有两个不等的根，求实数a 的取值范围；（3)若存在01x >，当0(1,)x x ∈时,恒有)()(x kg x f >,求实数k 的取值范围.2０1６年1月高二数 学 试 题 参 考 答 案一、填空题：１.210x R x x ∃∈++≤， 2.７5 3.12 4．5 5. ０ ６．137． 32 8． 12π 9.7 10．①④ 11.y x =± 12．[)2016,+∞ 1３.247１4.２ 二、解答题:15.解:(1)由题110)76322(=⨯++++a a a a a ,11020=⨯∴a , --－－----２分 ∴005.0=a ，-－-－---- 4分（2－---9分（３）此人成绩为优秀等级的概率为…… 14分 １6．证明:(1)因为M ,Q 分别为棱AD ,AC 的中点,所以//MQ CD ， …… 3分又CD ⊄平面MNQ ,MQ ⊂平面MNQ ， 故//CD 平面MNQ . …… 7分（2）因为M ，N 分别为棱AD ,BD 的中点，所以//MN AB , 又AB CD ⊥,AB AD ⊥，故MN AD ⊥，MN CD ⊥. …… 9分因为,AD CD D ⋂=，,AD CD ⊂平面ACD ， 所以MN ⊥平面ACD 又MN ⊂平面MNQ ， 所以平面MNQ ⊥平面ACD . …… 14分(注:若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“MN ⊥平面ACD ”，扣1分．） １7.解：(１)若p 为真：044≥-=∆m--------1分 解得1≤m--－-－--－2分 若q 为真：则⎩⎨⎧>++>-0115m mm －---－－3分 解得21<<-m －－--－--－4分 若“p 且q ”是真命题，则⎩⎨⎧<<-≤211m m ---－---－６分 解得11≤<-m－--－----7分(２）由q 是r 的必要不充分条件,则可得)1,(+t t ≠⊂)2,1(- -------１１分 即⎩⎨⎧≤+-≥211t t （等号不同时成立)-----－-1３分 解得11≤≤-t--------１5分18．解：(１） ()f x '=－3x ２＋6ｘ+9,切线的斜率为９, 所以()f x 在2x =处的切线方程为209(2)y x -=-，即920x y -+=. ----－---6分(2)令()f x '＝－3x 2+6x ＋9=0,得3x =(舍）或1x =-当(2,1)x ∈--时，()0f x '<,所以()f x 在(2,1)x ∈--时单调递减,当(1,2)x ∈-时()0f x '>，所以()f x 在(1,2)x ∈-时单调递增,又(2)f -=2a +,(2)f ＝22a +，所以(2)f >(2)f -．因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[]2,2-上的最大值和最小值,于是有 2222a +=,解得 0a =． －-－－----1２分故32()39f x x x x =-++，因此(1)5f -=-即函数()f x 在区间[]2,2-上的最小值为5-. -－－－----１5分19．解: （１)222221112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,1a b ==.所以椭圆E 的方程为2212x y +=．---4分 （２)设()()1122,,,A x y B x y ，则222212121122x x y y +=+=，.由题意()()10,20P Q ，， ()()11221221121,1,AP BP x y x y x y x y y y ∴--∴-=-．()()()()2222222212211221122112212221+==2222x y x y x y x y x y x y y y y y y y-----=-()()()()22122112211212+=22=2+x y x y y y y y y y y y ∴---若12=y y ，则120k k ==，结论成立.（此处不交代扣1分)()12122112+=2+y y x y x y y y ≠若则()()()12211212121212+2+02222x y x y y y y yk k x x x x -∴+=+==----．-－-----－１0分 备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用韦达定理解决也相应给分.(3）当直线l 与y 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于D C ,两点，如果存在定点Q 满足条件，则有QC PCQD PD=，即QC QD =,所以Q 在x 轴上，可设Q 点的坐标为()0,0x . 当直线l 与y 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于N M ,两点,则N M ,的坐标分别为.由QM PM QN PN =02x t =．所以,若存在不同于点P 不同的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为2(,0)t.---－－---１2分下面证明：对任意直线l ，均有QA PAQB PB=.记直线AQ 的斜率为1k ,直线BQ 的斜率为2k ,设()()1122,,,A x y B x y ，则222212121122x x y y +=+=，.由题意()20,0P t Q t ⎛⎫⎪⎝⎭，，()()()1122122112,,AP BP x t y x t y x y x y t y y ∴--∴-=-．()()()()2222222212211221122112212221+==2222x y x y x y x y x y x y y y y y y y-----=-()()()()22122112211212+t =22=2+x y x y y y y y y y y y ∴---若12=y y ，则120k k ==.()121221122+=+y y x y x y y y t≠若则 ()122112*********++02222x y x y y y y y t k k x x x x ttt t -∴+=+==⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 易知，点B 于x 轴对称的点B '的坐标为),(22y x -．QA QB k k '∴=,,Q A B '∴三点共线．12y QA QA PAQB QB y PB ∴==='．所以对任意直线l ,均有QA PA QB PB=--------１６分20.解：(I)()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞．由0)(<'x f 得⎩⎨⎧<++->0102x x x 解得251+>x ． 故()f x 的单调递减区间是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞++，251． --------4分 (2)设()()()x f x g x a ϕ=-+211ln 22x x a =-++，()0,x ∈+∞则问题转化为()x ϕ在1(,)e e上有两个不同的零点； 因为21()x x xϕ-'=.故当)1,0(∈x 时，()0x ϕ'>,当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<,所以()x ϕ在)1,0(∈x 递增.,在[)1,+∞上单调递减.；则由题意得：(1)0()01()0e e ϕϕϕ⎧⎪>⎪<⎨⎪⎪<⎩，即22013221122a a e a e ⎧⎪>⎪⎪<-⎨⎪⎪<+⎪⎩故211022a e<<+ -－－--－--10分（3)当1k =时,令)()()(x g x f x F -=2121ln 2+-=x x ,()0,x ∈+∞.则有()21F x x x-'=．当)1,0(∈x 时,0)(>'x F ,当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在)1,0(∈x 递增.，在[)1,+∞上单调递减.0)1()(max ==∴F x F ，∴对任意的),,0(+∞∈x 恒有)()(x g x f ≤，故不存在01x >满足题意． ----－---12分当1k >时,对于1x >,有()()()f x g x kg x <<,,从而不存在01x >满足题意----－-－－13分当1k <时，令)()()(x kg x f x G -=，()0,x ∈+∞,则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=. 由()G 0x '=得,()2110x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．从而当()21,x x ∈时,G()G(1)x 0，即()()1f x k x >-.综上,k 的取值范围是(),1-∞. ----－-－－1６分。