第二十六章反比例函数
一、选择题
1．已知反比例函数的图象经过点(2，－4)，那么这个反比例函数的解析式是()
A．y＝2
x B．y＝－
2
x
C．y＝8
x D．y＝－
8
x
2．已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数y＝k
x(k＞0)的图象上，则下列判断正确的是()
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
3．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200 N和0.5 m，则动力F(单位：N)关于动力臂l(单位：m)的函数解析式正确的是()
A．F＝1200
l B．F＝
600
l
C．F＝500
l D．F＝
0.5
l
4．如图1，A是反比例函数y＝6
x(x＞0)图象上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，
AC交反比例函数y＝2
x的图象于点B，P是x轴上的动点，则△PAB的面积为()
图1 A．2 B．6
C．4 D．8
5．如图2，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y
＝k
x(k≠0，x<0)的图象上，则该反比例函数的解析式为()
图2
A．y＝－
3 3
x B．y＝－
3
x C．y＝－
3
x D．y＝
3
x
6．已知反比例函数y＝
k
x的图象分别位于第二、四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在该
图象上，有下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA，若△ACO的面积为3，则k＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0.其中真命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．反比例函数y＝k
x的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位长度，再向下平
移1个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝________．
8．如图3，若反比例函数y＝k
x(x＜0)的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面
积为6，则k＝________．
图3
9．如图4，矩形ABCD的顶点A，C都在双曲线y＝k
x(k＞0，x＞0)上，若顶点D的坐
标为(5，3)，则直线BD的函数解析式是__________．
图4
10．如图5，P是双曲线C：y＝4
x(x＞0)上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y
＝1
2x－2于点Q，连接OP，OQ.当点P在双曲线C上运动，且点P在点Q的上方时，△POQ
面积的最大值是________．
图5
11．如图6，将一把直尺ABCD和一块含30°角的三角尺EFG摆放在同一平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角尺的直角边EF交BC于点M，
反比例函数y＝k
x(x＞0)的图象恰好经过点F，M.若直尺的宽CD＝3，三角尺的斜边FG＝8 3，
则k＝______．
图6
三、解答题
12．小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相
当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y(秒)与训练次数x(次)之间满足如图7所示的反比例函数关系．已知完成3次训练所需要的时间为400秒．
(1)求y与x之间的函数解析式(不用写出自变量的取值范围)；
(2)当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较y1－y2与y2－y3的大小：y1－y2__________y2－y3.
图7
13．设函数y1＝k
x，y2＝－
k
x(k＞0)．
(1)当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a－4，求a和k的值；
(2)设m≠0，且m≠－1，当x＝m时，y1＝p；当x＝m＋1时，y1＝q.圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
14．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(3，18)和B(－2，8)两点．(1)求一次函数的解析式；
(2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝m
x(m≠0)的图象只有一个交点，求
交点的坐标．
15．如图8所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x＋b的图象与反比例函数
y＝k
x(x＜0)的图象相交于点A(－1，6)，并与x轴交于点C.D是线段AC上一点，且△ODC与
△OAC的面积比为2∶3.
(1)k＝________，b＝________；
(2)求点D的坐标；
(3)若将△ODC绕点O逆时针旋转得到△OD′C′，其中点D′落在x轴负半轴上，判断点C′
是否落在函数y＝k
x(x＜0)的图象上，并说明理由．
图8
答案1．D 2.C
3．B4．A
5．B
6．D
7．6
8．－12
9．y＝3 5x
10．3 11．40 3
12．解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝k x.
把(3，400)代入y＝k
x，得400＝
k
3，
解得k＝1200，
∴y与x之间的函数解析式为y＝1200 x.
(2)把x＝6，8，10分别代入y＝1200
x，得y1＝
1200
6＝200，y2＝
1200
8＝150，y3＝
1200
10＝
120.
则y1－y2＝200－150＝50，y2－y3＝150－120＝30.
∵50＞30，∴y1－y2＞y2－y3.
故答案为＞.
13．解：(1)∵k＞0，
∴当2≤x≤3时，y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大， ∴当x ＝2时，y 1有最大值，为k
2＝a ①；
当x ＝2时，y 2有最小值，为－k
2＝a －4②.
由①②得a ＝2，k ＝4. (2)圆圆的说法不正确．
理由：当－1＜m ＜0时，0＜m ＋1＜1， ∴当x ＝m 时，p ＝k
m ＜0，
当x ＝m ＋1时，q ＝k
m ＋1＞0，
∴p ＜0＜q ，
∴圆圆的说法不正确．
14．解：(1)把(3，18)，(－2，8)代入一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中，得⎩
⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝18，
－2k ＋b ＝8，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝2，
b ＝12，
∴一次函数的解析式为y ＝2x ＋12.
(2)∵一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象与反比例函数y ＝m
x (m≠0)的图象只有一个交点，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝2x ＋12，y ＝m x
只有一组解，
即2x 2＋12x －m ＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝122－4×2×(－m)＝0，∴m ＝－18，
把m ＝－18代入，求得方程2x 2＋12x ＋18＝0的解为x 1＝x 2＝－3.
把x＝－3代入y＝2x＋12，得y＝6，
故交点的坐标为(－3，6)．
15．解：(1)将A(－1，6)代入y＝－x＋b，得6＝1＋b，∴b＝5.
将A(－1，6)代入y＝k
x，得6＝
k
－1
，
∴k＝－6.
故答案为－6，5.
(2)如图①，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N.
∵S△ODC
S△OAC＝
1
2OC·DM
1
2OC·AN
＝
2
3，
∴DM AN＝
2
3.
∵点A的坐标为(－1，6)，∴AN＝6，∴DM＝4，即点D的纵坐标为4.
把y＝4代入y＝－x＋5，解得x＝1.∴D(1，4)．
(3)点C′不在函数y＝－6
x(x<0)的图象上．
理由：如图②，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G.
由题意可知，OD′＝OD ＝OM 2＋DM 2＝17. 由直线y ＝－x ＋5可知C(5，0)，
∴OC′＝OC ＝5. ∵S △ODC ＝S △OD′C′，
∴OC·DM ＝OD′·C′G ，即5×4＝17C′G ， ∴C′G ＝20 17
17.
在Rt △OC′G 中，
∵OG ＝OC′2－C′G 2＝
5 17
17
， ∴点C′的坐标为(－5 1717，20 17
17)．
∵(－5 1717)×20 17
17
≠－6，
∴点C′不在函数y ＝－6
x (x<0)的图象上．。