活跃在高考中的一个恒等式——极化恒等式
01何谓极化恒等式
()()
14⎡
⎤⋅=
+--⎢
⎥⎣⎦22a b a b a b
三角形模型：
在
ABC 中，D 为BC 的中点：
.⋅=-=-=-2
2
2
2
2
21
4
AB AC AD BD AD CD AD BC
平行四边形模型
在平行四边形ABCD 中：()
⋅=-221
4
AB AD AC BD
02极化恒等式应用
例1，（2017全国II ，理12）已知
ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，
则()
⋅+PA PB PC 的最小值是（ ）
A. 2-
B. 32-
C. 4
3
- D. 1- 解法1（坐标法）：
以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线y 轴建立平面直角坐标系，()()()
1,0,1,0,0,3C A B -，设(),P x y ，则()
,3,x y =--PA ()1,x y =---PB ，()1,x y =--PC
()()
(),32,2x y x y ⋅+=--⋅--=PA PB PC ∴
2
222
332+23222x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 当且仅当30,2x y ==
，即30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，()
⋅+PA PB PC 取得最小值32-.
解法2（极化恒等式）：
设BC 的重点为O ，OC 的中点为M ，连接OP ，PM ，
()
22⋅+=⋅=-=2
212PA PB PC PO PA PM AO ∴33222
-≥-2PM ，
当且仅当M 与P 重合始去等号.
例2在ABC 中，已知90,4,3,C AC BC D ∠===是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC 上的
动点，且EF = 1，则⋅DE DF 的最小值为（ ） A.
54 B. 154 C. 17
4
D. 17
4
解法1（坐标法）
以AC 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()34,0,0,3,2,,2A B D ⎛⎫
⎪⎝⎭
设()()0,,,0,E b F a 则221a b +=，332,,2,22b a ⎛⎫⎛
⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭DE DF ，
()253251
2434242
b DE DF a a b ∴⋅=
--=-+， 由柯西不等式可得：()()()2
22224343a b a b ++≥+，即435a b +≤，当且仅当43,55
a b ==时取
等号，()251255154342424
DE DF a b ∴⋅=
-+≥-=，故选B
解法2（极化恒等式）
设EF 的中点为M ，连接CM ，则1
2
=
CM ，即点M 在如图所示的圆弧上，则 2
2
2
2
11115
4244
DE DF DM EM DM CD ⋅=-=-≥--=,故选B
本题也可用三角换元法解决
例3，（2013浙江）设
ABC ，0P 是边AB 上的一定点，满足01
4
P B AB =
，且对于边AB 上任一点P ，恒有00
PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（ ） A. 90ABC ∠= B. AB AC = C. 90BAC ∠= D. AC BC =
解法1（坐标法）
以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设()()4,,,,0AB C a b P x =，则()()()()()()()000
1,0,2,0,2,0,2,0,,,1,0,1,P A B PB x PC a x b P B PC a b -=-=--==-， ()()00,21PB PC P B PC x a x a ⋅≥⋅∴--≥-恒成立，即：()()110x a x ---≥恒成立，
11,
∴-=即：0
a
∴=,故选D
a=，∴点C在y轴上，AC BC
解法2（基地法）
解法3（极化恒等式）
例4、（2016江苏）如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，
⋅值为
⋅=⋅=-，则BE CE
4,1
BA CA BF CF
解法1（坐标法）
以BC为x，D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系
解法2（基底法）
解法3（极化恒等式）
例5、（2018宝鸡一模）直线0
++=与圆22
ax by c
O x y
+=相交于两点M，N，若222
:16
=+，
c a b
P为圆O上任意一点，则PM PN
⋅的取值范围为
解法1（坐标法）
以O为坐标原点，MN的平行线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
解法3（极化恒等式）
例6，如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，,3,6
AD BD AD BAD π
⊥=∠=
,
()()
11
,22
CM CA CB CN CD CA =+=+，则CM CN ⋅的最大值为
以C为坐标原点，BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，解法2（基底法）
解法3（极化恒等式）：。