d h h h
(1) Td群 :正四面体，对称要素有4C3, 3C2, 3S4, 6sd 阶次是24
z
C3
S4 S4 C3 C3 sd
y
பைடு நூலகம்
6sd 8C3 6S4 3C2
C3
x
S4
45
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
4. 立方群(含T 群、T 群、O 群以及I 群，共同点：有多条高次旋转轴n≧2)
28
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.1 群的定义
对于一个分子
• 一个分子所具有的对称操作的完全集合构成一个点群。 • 分子可以按点群加以分类。 • 点群具有一定的符号: 如C2、C2v、D3h、Oh、Td等。
• H2O分子就属于C2v点群
29
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.1 群的定义
H2O分子（C2v群：C2, sxz, syz, E）
2.2.3 反映操作和对称面 (镜面s)
sh
C4
sd sv sd
TeF6
C2
19
2-2 对称操作与对称元素
2.2.4 反演操作和对称中心 (i)
当分子有对称中心（i）时， 从分子中任一原子至对称 中心连一直线，将此线延 长，必可在和对称中心等 距离的另一侧找到另一相 同原子。和对称中心相对 应的对称操作叫反演。
对称操作分类： 1.实操作：能具体操作，直接实现的操作，如，旋转
2.虚操作：只能在想象中实现的操作，如，反映，反演， 旋转-反映，旋转-反演
2-3 点对称操作群(点群)
1811.10.25－1832.5.31 法国数学家
26
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.1 群的定义
• 群论属于高等代数学范围。 • 群是按一定规律相互联系着（“乘法”运算）的一些 元素的集合。数的集合不一定是群，但群必定是集合， 是一种有条件的集合。
d h h h
(1) Td群 :正四面体，对称要素有4C3, 3C2, 3S4, 6sd 阶次是24
41
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
4. 立方群(含T 群、T 群、O 群以及I 群，共同点：有多条高次旋转轴n≧2)
d h h h
(1) Td群 :正四面体，对称要素有4C3, 3C2, 3S4, 6sd 阶次是24
Cn外，还有n条副轴C2与之垂直)
(1) Dn群 :含一条Cn轴 和n条垂直Cn轴的C2，无镜面
交错式的乙烷分子 D3群
37
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
3. 双面群(含D 群、D
n nh群以及Dnd群，共同点：除主轴
Cn外，还有n条副轴C2与之垂直)
(1) Dn群 :含一条Cn轴 和n条垂直Cn轴的C2，无镜面
第二章 分子对称性与分子结构
对称性、对称操作和对称元素
群论及点对称操作群
特征标表 群论及点对称操作群 对称性在无机化学中的应用
第二章 分子对称性与分子结构
对称性、对称操作和对称元素
掌握对称操作与对称元素的概念
掌握如何运用对称性知识判断分子的偶极矩、旋光性
群论及点对称操作群
掌握无机分子或离子所属点群
对称面(镜面s)是平分分子的 平面，在分子中除位于对称面 上的原子外，其他成对地排在 对称面两侧，它们通过反映操 作可以复原。反映操作是使分 子中的每一点都反映到该点到 对称面垂线的延长线上，在对 称面另一侧等距离处。对称面 常用s表示。
sv
H
O
s v'
H H2 O
16
2-2 对称操作与对称元素
2.2.3 反映操作和对称面 (镜面s)
封闭性: C2zsxz = syz sxz
sxz [x,-y,z] [-x,y,z] z
C 2z
x
[x,y,z]
[-x,y,z]
O(x,y,z)
H H syz y
[x,y,z]
syz
结合律: C2(sxzsyz)=C2C2=E
(C2sxz)syz=syzsyz=E C2(sxzsyz)=(C2sxz)syz
30
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.1 群的定义
H2O分子（C2v群：C2, sxz, syz, E）
sxz
有恒等操作E 有逆元素 EC2=C2E=E
x
O(x,y,z)
H y H syz
[x,y,z]
sxz
[x,-y,z]
sxz
[x,y,z]
sxzsxz=E，sxz = sxz-1
z
31
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
4. 立方群(含T 群、T 群、O 群以及I 群，共同点：有多条高次旋转轴n≧2)
d h h h
(1) Td群 :正四面体，对称要素有4C3, 3C2, 3S4, 6sd 阶次是24
z
y
sd
x
44
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
4. 立方群(含T 群、T 群、O 群以及I 群，共同点：有多条高次旋转轴n≧2)
2.3.2 主要分子点群
3. 双面群(含D 群、D
n nh群以及Dnd群，共同点：除主轴
Cn外，还有n条副轴C2与之垂直)
(3) Dnd群 :Dn + n个分角对称面sd
丙二烯 D2d群
交错式五茂铁 D5d群
40
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
4. 立方群(含T 群、T 群、O 群以及I 群，共同点：有多条高次旋转轴n≧2)
操作定义
旋转轴能生成n个旋转操作，记为：
Cn1, Cn2, ...., Cnn-1, Cnn = E
12
2-2 对称操作与对称元素
2.2.2 旋转操作和对称轴 (Cn)
C1 轴的操作是个恒等操作: E C2 轴的基转角是180度，连续进行两次相当于恒等操作，
即： C2 1 • C 2 1 = C2 2 = E
映轴 Sn 的基本操作为绕轴转 3600/n ，接着按垂直于轴的 平面进行反映，是C1n和σ相继进行的联合操作：
S1n=σC1n
反轴 In 的基本操作为绕轴转 3600/n ，接着按轴上的中心 点进行反演，它是C1n和 i 相继进行的联合操作： I1n=iC1n
22
2-2 对称操作与对称元素
2.2.5 旋转-反映操作和旋转-反映轴(Sn)
[Co(en)3]3+ D3群
38
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
3. 双面群(含D 群、D
n nh群以及Dnd群，共同点：除主轴
Cn外，还有n条副轴C2与之垂直)
(2) Dnh群 :Dn + 一个sh
D2h群
D3h群
D4h群
D5h群
D6h群
D∞h群
39
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
1. 无对称元素(C1群)
非对称化合物
33
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
2. 单轴群(含Cn群、Cnv群以及Cnh群，共同点：含一条n重轴 ) (1) Cn群 :仅含一条n重轴
C2群
C3群
34
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
2. 单轴群(含Cn群、Cnv群以及Cnh群，共同点：含一条n重轴 ) (2) Cnv群 :含一条Cn轴和n个竖直对称面
2.3.1 群的定义
H2O分子（C2v群：C2, sxz, syz, E）
C2v E
C2
E
E
C2
E
C2 C2
s v s v sv` s v` s v` s v
s v s v` s v s v` s v` s v
E C2 C2 E
z
sxz
x
O(x,y,z)
H H syz y
水分子对称操作乘法表
32
2-3 点对称操作群(点群)
35
2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
2. 单轴群(含Cn群、Cnv群以及Cnh群，共同点：含一条n重轴 ) (3) Cnh群 :含一条Cn轴 和一个垂直Cn轴的面
C2h群
C2h群
C3h群
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2-3 点对称操作群(点群)
2.3.2 主要分子点群
3. 双面群(含D 群、D
n nh群以及Dnd群，共同点：除主轴
sv表示: 通过主轴的对称面
(v: vertical)
sh表示: 与主轴垂直的对称面 (h: horizontal)
sd表示: 通过主轴且平分副轴夹角的 对称面用sd表示 (d: diagonal)
17
2-2 对称操作与对称元素
2.2.3 反映操作和对称面 (镜面s)
18
2-2 对称操作与对称元素
对分子不作任何动作 一切分子都具有这个对称元素。 群论计算中要涉及它，所以必须包括。
10
2-2 对称操作与对称元素
2.2.2 旋转操作和对称轴 (Cn)
如果分子沿着顺时针方向绕一个轴旋转2p/n角后能够复原， 即分子的新取向与原取向能重合，就称此操作为旋转操作。 所绕的轴就称为n 次旋转轴。n 次旋转轴用记号Cn 表示。 转 120o
双侧对称性
双侧对称性
旋转对称性
电磁波
分子轨道对称性守恒原理
电荷对称
2-1 对称性的概念
对称性—经过某一不改变其中任何两点 间距离的操作后复原的性质。
分子对称性：
指分子的几何图形中（原子骨架；原子、分子 轨道空间形状等），有相互等同的部分，而这 些等同部分互相交换以后，与原来的状态相比， 不发生可辨别的变化；即交换前后图形复原。