§5.5 电流连续性方程及其应用一、电流连续性方程如果电流在进出一个具有单位截面积的微小体积元∆x 时发生电流密度的变化，则该体积元内必有载流子密度随时间的变化；如果再考虑到体积元内额外载流子的产生和复合，则电流所经之处x 的载流子密度随时间的变化率（单位时间载流子密度的改变），对n 型半导体中的空穴可表示为p pp p p p g p x J q g p x x x J x J q t p +∆-∂∂-=+∆-∆∆+-=∂∂ττ1)()(1 (5-127) 式中右边第一项表示单位时间内电流进出该体积元引起的空穴积累，第二项表示单位时间内因复合而减少的空穴数目，g p 表示其他产生复合因素引起的单位时间单位体积中空穴的变化。

若∆p /τp 表示净复合率，则g p 可略去。

式中，空穴电流由扩散电流和漂移电流两部分组成，即dxpd qD E qp J J J pp pD pS p ∆-=+=μ 因此，xEp q x p qD x p E q x J p p p p∂∂+∂∆∂-∂∂=∂∂μμ22 (5-128) 代入式（5－127）即得漂移和扩散同时存在并考虑产生与复合对载流子密度的改变时，少数载流子所遵守的瞬态方程，即电流连续性方程：p p p p g p x E p x p E x p D t p +∆-∂∂-∂∂-∂∆∂=∂∂τμμ22 (5-129)二、稳态连续性方程及其解在上述情况下，若额外载流子的注入恒定不变，且g p =0，则p 不随时间变化，即∂p /∂t ＝0。

这时的连续性方程称为稳态连续性方程。

为了简化讨论，假定材料是均匀的，因而平衡空穴密度p 0与x 无关；电场是均匀的，因而∂│E │/∂x ＝0。

则式(5-129)变为022=∆-∂∆-∆pp p px p d E dx p d D τμ (5-130)令)(E E p p p =τμ，将该微分方程改写为0)(222=∆-∆-∆p dx pd E dx p d L pp其普遍解为x x Be Ae p 21λλ+=∆(5-131)其中λ1和λ2是算子方程01)(22=--λλE L p p(5-132)的两个根。

式中， (E)表示额外空穴在其平均寿命的时间内在电场作用下漂移的距离，称为空穴的牵引长度。

算子方程(5-134)的解为2222,124)()(ppp p L L E E +±=λ显然，λ1＞0，λ2＜0。

对于这里讨论的情况，额外载流子密度必随x 衰减，所以式(5-131)的第一项必须为零。

于是知稳态连续性方程的解应是x Be p 2λ=∆根据边界条件x ＝0时∆p ＝∆p (0)，可知B=∆p (0)，所以x e p p 2)0(λ∆=∆此结果表明额外载流子密度随x 按指数规律衰减。

式中22222)(41)()(pp p p p LE L E E +-=λ如果电场很强，以致牵引长度 p (E)>>L p ，则可对式中的根式作如下近似处理++=+)(21)(412222E L E L pp pp于是得)(/12E p -≈λ，稳态连续性方程的解为))(exp()0(E xp p p -∆=∆ 上式表示，电场很强时，扩散运动可以忽略。

这时，由表面注入的额外载流子能够深入样品的平均距离是牵引长度 p (E)，而不是扩散长度L p 。

但若电场很弱，以致牵引长度 p (E)<< L p ，则p L /12-≈λ，稳态连续性方程的解为)exp()0(pL x p p -∆=∆ 这就是讨论扩散运动时得到的衰减规律。

事实上，若忽略电场的影响，式(5-130)就变成稳态扩散方程式(5-81)。

三、连续性方程的应用1、均匀光注入载流子的衰减若光照在均匀半导体内部均匀地注入额外载流子，则∂p /∂x ＝0。

同时假定没有电场且g p =0。

在t ＝0时刻，光照停止，额外载流子将不断复合而消失。

这时，连续性方程式(5-129)变成τpt p ∆-=∂∆∂ 这就是本章开头所讨论的额外载流子随时间衰减的微分方程式(5-4)。

其解为)/exp()0()(τt p t p -∆=∆2、局部注入的额外载流子脉冲及其在电场中的漂移（The Haynes －Shockley Experiment ）在一块均匀的n 型半导体材料中，用光脉冲在其中局部注入额外载流子，如图5-19(a)所示。

1）无外加电场当脉冲停止后，空穴的一维连续性方程是p p pxp D t p τ∆-∂∆∂=∂∆∂22(5-142) 假设这个方程有如下形式的解)/exp(),(p t t x f p τ-=∆ (5-143)将它代入式(5-142)，得到22),(),(x t x f D t t x f p ∂∂=∂∂ (5-144)这是一维热传导方程的标准形式。

若t ＝0时，额外空穴只局限于x = 0附近的很窄区域内，则式(5-144)的解是)4exp(),(2t D x tBt x f p -= (5-145)式中，B 是常数。

将上式代入式(5－143)，得到)4e x p (2p p t t D x tBp τ--=∆(5-146)上式在t ＝0时对x 从-∞－∞积分所得到的结果应该是光脉冲通过单位面积表面产生的额外空穴数N ，由此确定积分常数pD N B π4=(5-148)最后得到)4exp(42p p p t t D x t D Np τπ--=∆ (5-149)上式表明，没有外加电场时，光脉冲停止以后，注入的空穴由注入点向两边扩散，同时不断发生复合，其峰值随时间下降。

如图5-19(b)所示。

图5-19 额外载流子的脉冲光注入在这种情况下，额外载流子随时间衰减有下列特点： ① 衰减曲线关于注入点x =0对称； ② 在t ＜＜τ 时，exp(-t /τ )≈1，因而)4exp(42t D x t D Np p p -=∆π这相当于忽略了复合的作用。

该式即扩散问题在粒子数守恒条件下的高斯分布函数。

积分⎰∞∞-=∆N dx t x p ),(为常数。

③ 当复合项不能忽略时，不但在注入点x =0处的额外载流子密度,)exp(4pp p ttD N p τπ-=∆随时间衰减，积分面积)exp(),(ptN dx t x p τ-=∆⎰∞∞-也即额外载流子的数目也随时间衰减。

2）有外加电场如果样品加上一均匀电场，则连续性方程是τμpx p E xp D t p p p ∆-∂∂-∂∆∂=∂∂22 (5-150)这时，可认为注入的额外载流子整体以漂移速度 μp │E │沿电场方向移动，其中心在t 时刻的位置是μp │E │t 。

因此作变量代换，令t E x x p μ-='(5-151)将其带入无电场情况下的解，即式(5-149)中，即得有电场情况下的解：)4)(exp(42pp p p p ttD tE x tD N p τμπ---=∆ (5-152)上式表示光脉冲停止后，整个额外载流子“包” 在电场驱使下以漂移速度μp │E │向样品的负端漂移，同时也像无电场时一样向包外扩散并通过复合而消失。

这种情形如图5-19(c)所示。

这就是著名的测量半导体中载流子迁移率的Haynes －Shockley Experiment 。

实验原理如图5-19(a)所示。

实验中所加电场也是脉冲形式，称为扫描脉冲。

扫描脉冲和被测脉冲之间的时间间隔显示在示波器上。

若已知电场强度│E │及脉冲漂移的距离x ，则由x =μp │E │t 即可算出迁移μ。

这样测得的迁移率称为漂移迁移率。

当然要获得精确的测量结果，必须准确地测量时间间隔和电场。

用这个实验也可以测量额外载流子的寿命，这时需要两根隔开一定距离的收集探针。

利用这两根探针观测到的额外载流子“包”面积之比为1/e 时，收集到这两个信号的时间之差就是寿命τ。

3.稳态下的表面复合若稳定光在一块掺杂均匀的n 型半导体中持续均匀注入额外载流子，产生率为g p ，则达到稳态时∆p ＝p -p 0=τp g p 。

如果在样品的一端存在表面复合，则这个面上的额外空穴密度将比体内低，体内的额外空穴就要流向这个表面，并在那里复合掉。

在小注入的情况下，忽略电场的影响，注入空穴的连续性方程是022=+∆-∂∆∂p p g p x p D τ将发生表面复合的面定位于x =0处，则该方程应满足如下两个边界条件：p p g p τ=∞∆)()0()(0p s x x p D p x p∆=∂∆∂=式中s p 是表面复合速度。

方程满足第一个边界条件的解是p p pg L xC x p τ+-=∆)exp()( 其中，待定常数C 由第二个边界条件确定为pp p p p pp s L s g C τττ+-=因而其解为p p p p p p p p g L x s L s x p τττ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=∆)exp(1)(如图5-20所示，该解表明：1） 当S p 趋于零时，∆p (x )＝τp g p 为一常数，即额外空穴从里到外均匀分布。

2） 当S p 趋于无穷大时，p p p g L x x p τ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=∆)exp(1)(这时，∆p (0)＝0，∆p (∞)＝τp g p ，∆p (L p )＝τp g p （1－1/e ）。

图5-20 稳态表面复合条件下的载流子分布。