第三章：一元一次方程与方程组
3.1 一元一次方程及其解法
知识点：①一元一次方程的概念②等式的基本性质③移项（要变号）④解一元一次方程的一般步骤
元一次方程的概念
定义：一元：只含有一个未知数，一次：未知数的最高次数是1次，方程：含有未知数的等式，且含有未知数的代数式是整式。
拓展：任何一个一元一次方程都可以化简成ax b 0（a O,a,b为已知数）的形式，这是一元一次方程的标准形式。
题：判断下列式子是否为一元一次方程
2
（1）3x 4 （2）4x 1 4x 5 （3）2y 3 x2+4 （4）2x 1 1
x
1
（5）2x y o （6）—（7）x 2
x
二、等式的基本性质
性质：①等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，结果仍相等
②等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为0），结果仍相等
③如果a b，那么b a （对称性）④如果a b,b c，那么a c （传递性）
注：一个量用与它相等的量代替，叫做等量代换。
方程也是等式，所以方程也具有等式的性质。
题：运用等式的基本性质把下列等式变成x a的形式
（1）3x 2x 3
4 7
（2）
（2）x x 一
3 3
、移项（要变号） 移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边（简称：移项要变号）
注：①变形过程中，习惯把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类 项。
② 凡是被移动的项一定要变号（这里的移动说的是从方程的一边移动到另外一边），满意移动的 项保持原来的符号
③ 移项要变号的定理是根据等式的性质 1得到的。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程 的解的过程叫做解方程。
必须含有未知数等式的等式才叫方 程。
等式不一定是方程，方程一定是等式。
四、解一元一次方程的一般步骤
步骤：
1. 去分母。
方程中每项都乘以分母的最小公倍数
2. 去括号。
依据去括号的法则，依次逐步去括号
3. 移项（要变号）。
含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边
4. 合并同类项。
含有未知数的项移合并在一起，常数项合并在一起
5. 系数化为1。
两边同时除以未知数的系数
题：解方程
（1） 4x 7 5 2x
（2） 2x 4 例：解方程 2x 1 3
（一般情况下的步骤，不排除有简便方法，如先去分母比较简单） 题：解方程：-1
2
方程（m2-1）x 2-（m+1）x +8=0是关于x 的一元一次方程题：解方程：3x
7x 3x 6 题：当m 为何值时,
3.2 一元一次方程的应用
知识点：①列一元一次方程解应用题的步骤；②等积变换问题；③打折销售、利率问题及增长率问题;
④行程问题；⑤工程问题
一、列一元一次方程解应用题的步骤例：某次全校募捐活动中，全校师生共捐款45000 元，其中，学生捐款数比老师捐款数的两倍少9000 元，问该校老师和学生各捐款多少元？
解题步骤：
（1）审：弄清题意，分清已知量和未知量
（2）设：设未知数，用含有未知数的代数式表示相关量
（3）列：找出等量关系，并由此列出方程
（4）解：解方程，求未知数的值，检验此值是否符合题意
（5）答：根据题意写出答案
注： 1.一道题往往含有多个未知数，应当选择一个设为未知数，其他的量用这一个未知数来表示，进而列出方程。
2.列方程时，单位不统一的一定要统一单位
3.对于方程的解，要看解是不是符合实际意义，在设和答的时候，必须写清单位名称
二、等积变换问题
等积：等面积或等体积，等积变换问题指的是几何图形的形状发生改变，而面积或体积没有变。
利用等量关系列出等式。
注：1•等式两边单位保持一致
2.找等量关系，用含有未知数的等式表示已知量和未知量之间的关系
题：一圆柱形容器的内半径为3cm，内壁高30cm，容器内盛有15cm高的水，现将一个底面半径为2cm、高18cm 的金属圆柱竖直放入容器内，容器内的水将升高多少？
三、打折销售、利率问题及增长率问题
利润
知识归纳：(1)售价=标价x折数利润二售价-成本利润率=利润
成本
(2)利息二本金x利率X期数
(3)增长率问题：达到的数量=基数X( 1+增长率)
(4)打折：打几折就是按照原价的百分之几十出售
题：商场出售A冰箱每台售价为2190元，每日耗电1度，B冰箱每台售价比A贵10%,单每日耗电0.55度。
请问商场将A冰箱打几折，使得A冰箱10年的总费用与B冰箱10年的费用相等？(每年365天，每度电0.5元计算)
四、行程问题知识归纳：(1)相遇问题：相遇时间X速度和=路程和
(2)追及问题：追及时间X速度差=追及路程
( 3)航行问题：顺水速度-水流速度=静水中航行速度
( 4)逆水速度+水流速度=静水中航行速度
题：甲乙两地间的路程是708m, —辆慢车从甲地开往乙地，慢车开了一个半小时之后，另有一辆快车从乙地开往甲地。
已知慢车每小时走92km，快车每小时走136km，问两侧和各开几小时后相遇?
五、工程问题
( 1 )全部工作量=各部分工作量之和=1
工作量二工作效率X工作时间
(2)总工程量为1.工作效率是工作时间的倒数题：甲乙两队共同完成一个项目，甲单独做7.5小时完成，乙单独做，5小时完成，现在让甲乙一起工作 1 小时，剩下的让乙单独做，共需多长时间完成?
3.3二元一次方程组及其解法
①二元一次方程的相关概念②二元一次方程组③代入消元法解方程④加减法解方程
1.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
一、二元一次方程的相关概念
1.二元一次方程:含有两个未知数的一次方程。
(二元：两个未知数；一次：含有未知数的项的系数都为 1;方程：等式+含有未知数的项都是整式)
2. 二元一次方程的解.：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值。
3. 二元一次方程组和二元一次方程的异同点：
题：下列各式属于二元一次方程的有:
1
1 (1) 3x y
2 (2) y 一x 2=0 (3) y z 5 (4) xy - 2 2
元一次方程组 (1) 已知两数x,y 之和是10，x 比y 的3倍大2,贝U 可以列出所有的方程为
(2) 三对数值
知识归纳：(名词解释)
1. 一次方程组：由几个一次方程组成的方程组
2. 二元一次方程组：由两个一次方程组组成的，含有两个未知数的方程组
3. 二元一次方程组的解：使得二元一次方程组中的两个方程都成立的两个未知数的值
4. 解方程组：求方程组的解的过程
注意：同一个方程组的同一个未知数表示的意义是相同的
判断一个方程组是不是二元一次方程组， 注意抓两个点：①有两个一次方程②一共含有两个未 知数 题：判断
三、代入法解方程
2x 3y 5 ①
(7) x y z 5
(8) 5x 3 x 4y (5)- 2x 4 (6)4x 3y
y
x 3 2y ②
代入法的大致思路：
1.通过方程组中的一个方程，将某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并将代数式代入另一个方程中，（这样就消去了一个未知数，得到一个一元一次方程），解方程求出一个未知数的值，再将这个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而求出方程组的解。
这种解方程组的方法叫做代入消元法。
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）变形：选择一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示（2）代入：将一个方程变形后代入另一个方程中，消去了一个未知数，得到一个一元一次方程
（3）解：解得到的一元一次方程
（4）反代：将得到的解代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值
（5）写出答案，［x a
y b
题：用代入法解下列方程
x y 200 2x y 3
2
y3x
四、加减法解方程
3x 2y 5
5x 2y 3
用加减法解方程组的一般思路：
通过把两个方程相加或相减消去一个未知数的方法叫做加减消元法。
方法归纳：
1.两个方程中有一个未知数的系数相等，那么两个方程相减，如果有一个未知数的系数互为相反数，那么两方程相加。
2.如果方程组中没有某个系数相等或者互为相反数，就选择其中一个系数比较简单的未知数，先找
出系数的最小公倍数，然后在一个方程或两个方程的两边同时乘一个数，使得某个未知数在两个方程中系数的绝对值相等，然后再相减或相加即可。
4x 5y 23 x 2y 0
题:
3x 5y 9 3x 4y 6。