判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1+ x2+ x3 ≤15 (1)2x1- x2+ x3≥9 (2)-x1+ 2x2+2x3≤8 (3)x1x2x3 ≥01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1+ 2y2- y3 ≤ 3 (1)y1- y2+ 2y3≤ 2 (2)y1+ y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1+ x2+ x3 + x4 = 15 (1)-2x1+ x2- x3+ x5= -9 (2)-x1+ 2x2+2x3+x6 = 8 (3)原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11 2.2 对于以下线性规划问题max z = -x1 - 2x2s.t. -2x1 + 3x2≤12 (1)-3x1 + x2≤ 6 (2)x1 + 3x2≥ 3 (3)x1≤0，x2≥01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
解答：1、写出标准化的线性规划问题:令x1*=- x1max z = x1*- 2x2s.t. 2x1*+ 3x2+ x3 = 12 (1)3x1*+ x2+ x4= 6 (2)-x1*+ 3x2-x5 = 3 (3)x1* x2 x3 x4 x5≥02、（此时最优解为（X1、X2、X3、X4 X5）=（-3/2，3/2，9/2，0，0）maxz=-3/23、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；min w = 12y1 + 6y2 + 3y3s.t. -2y1- 3y2+ y3 ≤-1 (1)3y1+ y2+ 3 y3≥-2 (2)y1≥0、y2 ≥0、y3 ≤04、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；此时最优解为（y1、y2、y3、y4 y5）=（0，1/10,-7/10，0，0）minw =-3/25、则有1≤b2≤11，最优解不变。
2.3 已知LP问题：max z = x1 + 2x2 +3x3 + 4x4s.t. x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4≤20 (1)2x1 + x2 + 3x3 + 2x4≤20 (2)x1 、x2 、x3 、x4≥0的最优解为（0，0，4，4）T，最优值为Z=28。
请用互补松弛定理计算其对偶问题的最优解。
解答：首先写出此LP问题的对偶问题为：min w = 20y1 + 20y2s.t. y1 + 2y2 ≥ 1 (1)2y1 + y2≥ 2 (2)2y1 + 3y2 ≥ 3 (3)3y1 + 2y2≥ 4 (4)y1 、y2 、≥0将上述对偶问题的化成标准型，取松弛变量分别为v1、v2、、v3、v4，则有min w = 20y1 + 20y2s.t. y1 + 2y2 - v1= 1 (5)2y1 + y2- v2= 2 (6)2y1 + 3y2 - v3= 3 (7)3y1 + 2y2- v4= 4 (8)y1 、y2 、≥0利用互补松弛定理可知：x3 = 4 > 0 ,又有x3 v3 = 0 ，所以有v3 = 0 代入(7)式x4 = 4 > 0，又有x4 v4= 0 ，所以有v4 = 0 代入(8)式，则有2y1 + 3y2 = 3 (9)3y1 + 2y2= 4 (10)从中可计算出y1 = 6/5、y2 = 1/5，则w* =282.4 一个工厂用四种原料生产三种产品，生产每种产品要消耗的各种原料数量（表中“—”表示相应的产品不需要这种原料）、各种产品的利润以及各种原料的限量如下表所示。
1、写出原料限制条件下利润最大化的线性规划模型；2、写出以上问题的对偶问题；3、已知利润最大的线性规划问题的最优解是产品A生产120件，产品B不生解答：数量（表中“—”表示相应的产品不需要这种原料）、各种产品的利润以及各种原料的限量如下表所示。
1.写出原料限制条件下利润最大化的线性规划模型；max z = 120x1 + 180x2 +210x3s.t. 12x1 + 8x2+10x3 ≤2400 (1)6x1 + 10x2+15x3 ≤1500 (2)15x1 + 18x2≤1800 (3)20x2 + 22x3≤2000 (4)x1≥0，x2≥0 x3≥02.写出以上问题的对偶问题；min w = 2400y1 + 1500y2 +1800y3 +2000y4s.t. 12y1 + 6y2+15y3 ≥120 (1)8y1 + 10y2 + 18y3 + 20y4 ≥180 (2)10y1 + 15y2 +22y4 ≥210 (3)y1≥0，y2≥0 y3≥0 y4≥03.已知利润最大的线性规划问题的最优解是产品A生产120件，产品B不生产，产品C生产52件，用互补松弛关系求四种原料的影子价格。
max z = 120x1 + 180x2 +210x3s.t. 12x1 + 8x2+10x3 +x4 = 2400 (1)6x1 + 10x2+15x3 +x5 = 1500 (2)15x1 + 18x2+x6= 1800 (3)20x2 + 22x3+x7= 2000 (4)x1≥0，x2≥0 x3≥0 x4≥0 x5 ≥0 x6≥0 x7≥0x4 =440 x5 =0 x6 =0 x7 =856min w = 2400y1 + 1500y2 +1800y3 +2000y4s.t. 12y1 + 6y2+15y3 -y5 = 120 (1)8y1 + 10y2+ 18y3 + 20y4 -y6 = 180 (2)10y1 + 15y2+22y4 -y7 = 210 (3)y1≥0，y2≥0 y3≥0 y4≥0 y5≥0 y6≥0 y7≥0由互补松弛关系可知，x1 x3 x4 x7≥0，得到y5= y7= y1= y4=06y2+15y3 = 12010y2+ 18y3 -y6 = 18015y2= 210解得y2=14 y3= 2.4 y6=3.2原材料甲的影子价格为：0万元/吨原材料乙的影子价格为：14万元/吨原材料丙的影子价格为：2.4万元/吨原材料丁的影子价格为：0万元/吨。