然后求出
边值问题
• 第一种边值问题（柯西问题） • 第二种边值问题（古尔斯问题，黎曼问题）
边值问题
• 第三种边值问题（混合问题） • 第四种边值问题
地基极限承载力
• 边界条件
已知条件有：地基土性参数
；
边荷载
；以及基底荷载之倾角
（由上部结构荷载水平与垂直分量确定）。
目的是：求基底面极限承载力及其分布
第三节 岩土工程数值分析方法类型简介
数值分析
有限分析法 边界单元法 有限单元法
离散单元法
非连续变形单元 法
流形元法 …… 等
遵守微分方程的解
数值积分
特征线法
有限差分法
加权残值法
变分法和Raleigh Ritz 法
Galerkin 法连续变 形单元法
配置法连 续变形单 元法
子域法连 续变形单 元法
最小二乘法连 续变形单元法
滑移线的基本性质
• 沿一条滑移线的积分常数相同，因此：沿一条 滑移线上的 变化与 的变化呈比例， 的变 化（滑移线的曲率变化）愈大相应的 变化也 愈大；如若某段滑移线为直线，则该直线段滑 移线上的 ， 值和应力分量均为常量。
• 两条 族被两条 族滑移线所切割的两滑移线 段转角相等，同理两条 族被两条 族滑移线 所切割的两滑移线段转角也相等（Henky第一定 律）。
（ 方向对边界倾角的2倍）
边界已知值换算推导
点 和点 对应着两种应力状态，即被动状态和主动状态。
在
处，
或
按正弦定律
在 处，
按正弦定律
上式分别合成一个式子，有
Байду номын сангаас
（
）
因为线段长
或 图2.10 主动与被动状态判别
主动与被动状态判别
若边界顺着边界荷载
的运动方向下压使土体单元处于
极限平衡状态，则单元的侧向应力 必小于法向应力
数值分析发展前景广阔，是学者和工程
师们的新舞台。
第四节 学习中应注意的问题
（1）掌握每种方法的数学力学 原理，基本假定和适用范围；
（2）弄清每种方法对岩土体材 料模型及其参数的要求；
学习中应注意的问题
（3）弄清每种方法对岩土体材料 与结构的相互作用模型及其参数 的要求，包括岩石块体之间的关 联和相互作用；
[3] 中国力学学会计算力学委员会主办，第一届全国计算岩土力学研讨 会论文集（M），西南交通大学出版社，1987.11。
[4] 龚晓南主编，土工计算机分析，中国建筑工业出版社（M）， 2000.10。
[5] 廖红建、王铁行，岩土工程数值分析，机械工业出版社（M）， 2006.2。
…………更多
滑移线理论与特征线法
• 若沿某一滑移线移动，在交叉点处的另一族滑 移线的曲率半径的变化（Henky第二定律）。
特征线方程组的差分解法
差分方程组
提高差分解精度
依据问题定性作出较密的滑移线网格；逐点进行一 次差分计算后，再在前一次差分计算结果的基础上 进行逐次迭代计算 ， 以
勇于开始，才能找到成 功的路
分别代替
进行下一次迭代
滑移线概念
应力分量表达（一点应力状态）
当土体达到塑性极限平衡时（达到塑性屈服），土体单元将一对剪破面，
剪破面与大主应力的夹角为
。
设大主应力 与 轴的夹角为 ，则三个应力分量 为
可分别表达
式中 称为平均法向引用应力
应力分量表达（放大图）
滑移线与滑移线方程
线和 线的微分方程为
应力平衡方程的特征线方程
（4）分析岩土体是否存在渗流和 与水的相互作用或其它耦合问题 。
应用时注意几个主要环节
（1）研究分析对象，明确计算目的，选 择数值分析方法，确定建模方案； （2）确定运用的模型及其参数；
勇于开始，才能找到成
（3）确定边界条件与初功的始路 条件；
应用时注意几个主要环节
（4）模拟荷载及荷载的动态变化； （5）确定计算的收敛评判依据； （6）考察各环节简化的合理性，考题，否
称为特征线。特
征线的方程组：
方程组是曲面方程，仍难以求 得解析解，只能沿着曲面方程的 特征线才能求得解答，因此称为 特征线法。
比较滑移线的定义与此处的特 征线方程，可知此处数学上的特 征线就是物理概念上的滑移线。
应力间断线
应力间断线（l线）推导
勇于开始，才能找到成 功的路
应力间断线
应力间断线推导
• 岩土参数反分析法（Back Analysis Method ,BAM）；
• 滑移线理论与特征线方法（Characteristics Line Method ，CLM）。
人们的认识在不断发展深化，同时伴随其 它学科的发展，例如计算方法的多样化与计 算技术的发展，能够求解的岩土工程问题的 范围和难度在不断扩大。 从求解稳定性问题到求解变形和稳定问题， 从土体到岩体， 从连续介质到不连续介质， 从简单到复杂， 从单一问题到综合和耦合问题等。
地基极限承载力
• 滑移线网格与节点
地基极限承载力
• 分析边界条件 • 初绘滑移线网、节点编号 • 计算表格（步骤），或编程 • 分区解答（或输入程序计算信息） • 极限荷载、实际荷载
分析边界条件和
OB为未知边界换算
OA为已知边界，OB为未知边界（基底面）。
分析应力边界的土体单元不难发现，未知 边界基底面OB将顺着p下压，BOD为主动区， 根据前面的分析应取K＝－1，将m＝0，
代入式（2-24），取 ，得
轴与基底勇面于一开致始即，才能找到成
功的路
分析边界条件和
已知的边界OA 换算
分析应力边界的土体单元不难发现，未知 边界OA有外移（隆起）的趋势，AOC为被动 区，因此应取K＝+1，将m＝0，
代入式（2-27） ，得
网格节点编号
地基极限承载力计算格式
AOC区解答
COD区解答
关于力的极限平衡理论
力的极限平衡理论假定土体为理想刚 体，依据于经典静力学中刚体平衡理论 推求极限状态解答，简称为极限平衡法 。该方法最为人们所熟悉，其突出优点 是简单，应用广泛。例如，经典土压力 计算理论，假定滑动面的土坡稳定安全 系数计算，地基极限承载力计算等。
关于极限分析理论
极限分析理论假定土体为弹性－理想塑性 体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流 动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷 载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无 限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对 应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应 用虚功率方程推导弹性－理想塑性体或刚塑性 体的普遍定理－上限定理（求极限荷载的上限 解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解 极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。
功的路
，这种情况恰与莫尔圆上的
点相一致，就相当于取式（2-24） 中的K＝+1；
按该式计算的 值最大，称被动状态或最大应力状态。
边界已知值换算
由
换算成
或
当差分计算到未知边界后，一般应完成这种换算，以便 于设计使用。换算可采用如下两种方法之一进行。
方法1：利用式，反求
求出
再求
，
方法2：先由莫尔圆上直接求出
滑移线理论与特征线法 河海大学
2020年4月28日星期二
第一节 岩土工程问题的基本特点
• 工程类型的多样性 • 材料性质的复杂性 • 荷载条件的复杂性 • 初始条件与边界条件的
复杂性 • 相互作用问题
土（岩）与结构的相互作用（例）
加筋挡墙
墙（挡土墙、防渗墙）、混凝土面板 坝的面板与土（岩）的相互作用
COD区为主动区与被动区之间的过渡区 ，其中O点是该区 族滑移线的会交点， 也可以将O点看着为 族滑移线缩于一点 。该点是奇点，发生了理论上的应力间断 。
COD区解答
COD区解答
关于滑移线理论
土力学中的滑移线理论是从经典塑性 力学的基础上发展起来的。假定土体为理 想刚塑性体，强度包线为直线且服从正交 流动规则的标准库仑材料。
滑移线理论是基于平面应变状态的土 体内当达到“无限”塑性流动时，塑性区内 的应力和应变速度的偏微分方程是双曲线 这一事实，应用特征线理论求解平面应变 问题极限解的一种方法，称为滑移线法。
勇于开始，才能找到成 功的路
混凝土面板坝 防渗墙与覆盖层
挡土墙
第二节 岩土工程数值分析发展的必然性
为尽可能求得问题的可靠解答，人们的追求 与选择大致有三个梯次，退而择之。 • 建立严格的控制物理方程 －严格精确解 • 基于假定建立较为精确的控制物理方程－近 似理论解 • 必要简化假设的基础上得到的控制物理方程 （微分方程或微分方程组）－寻求数值解
滑移线概念
• 基本假定 • 基本方程
平衡方程为
土体屈服条件为
滑移线
在平面应变问题中，都有两 个正交主应力，将各点主应 力方向连续地连接起来就是 主应力迹线。土体处于屈服
勇于开始，才能找到成
状态时，每一点都存在一对功的路 剪破面，即面和面，将平面 上各点剪破面连续地连接起 来就可以得到两族曲线，称 为滑移线（或滑动线）。滑 移线上一点的切线就是该点 的滑动面方向。
• 特征线方程 －推导 特征线方程组 极限平衡方程改写
这是一个以x，z ， , 为变量的空间曲面方程
是一阶拟线形偏微分方程组。直接求解极其困难。 数学上的一阶拟线形偏微分方程组一般形式为
该式是关于 由系数 ，其中系数 的函数。
为变量， 构成的代数方程组
是
该方程组的系数行列式为
展开行列式，令 其中
河海大学岩土工程研究所 卢廷浩
概述
对于土体，滑移线理论、极限分析理论 与力的极限平衡理论同属极限状态理论的 范畴，都是求土体达到极限状态时解答的 理论方法。这些理论方法都是假定分析对 象服从库仑材料破坏准则，求解时不考虑 材料到达极限状态的过程，即不考虑材料 的具体应力应变关系，从而求得土体达到 极限状态时的解答，但他们各自求解问题 的视角和方法不同。