证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由 曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始 位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点 所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代 替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑 移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切 应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别
为：
2k cos1( k / k) / 2（8.11） pk n k sin(2k ) 0 k x k k sin(2k ) 2k 可见，变形区的自由表面上的 k / 4 和 pk k 。
依照 8-1 节所述方法，可绘制出自由表面上任一点应力的莫尔圆，并根据
y 为主应力 1 （即自由表面的外法线方向）确定 线、 线方向。
实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最 大切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表 明，这些条纹也恰好是金属晶体滑移变形的实际滑移面 与金属试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据 此，塑性力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈 服切应力的轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力 平面是成对正交的，因此滑移线在塑性流动平面内为两 族正交的曲线。
3）混合问题
这是给定一条α线OA，和与之相交的另一条不是滑移线 的某曲线OB（可能是接触边界线或变形区中的对称轴线） 上倾角值Ф1（见图8-9）。如对称轴线上，其Ф1等于π/4。
先假设找到了给定滑移线上点 O 附近的第一条 1 线，它与滑移线 和边界
线的交点为 a1（1，0）和 b1（1，1），根据以弦代弧的几何关系，得 a1Ob1 (1/ 2)[(0,0) (1,0)] (0,0) / 2
由图8-1(C)的几何关系可知，有
x p k sin 2 y p k sin 2 xy k cos 2
式中静水压力 p( m ( x y ) / 2) Ф——定义为最大切应力τmax (= k)方向与坐标轴Ox的夹角
图 8-1c 中 P' C 为最大主应力 1 的作用方向， P' D 为最小主 应力 3 的作用方向。定义 为 P' I， max( k) 作用方向； 为 P' Ⅱ， max k 的作用方向。
由于金属塑性变形的基本机制是晶体在切应力作用 下沿着特定的晶面和晶向而产生滑移，滑移结果在试样 表面显露出滑移台阶，因此，滑移线是金属塑性变形时， 发生晶体滑移的可能地带。只有特定的晶面和晶向的切 应力达到金属的临界屈服切应力时才会使晶体产生滑移 变形。
现在，滑移线理论成为了求解理想刚塑性体平面应变问 题的重要方法之一，广泛应用于长宽比较大的矩形工件的平 锤压缩、宽板平辊轧制和板条平面挤压、拉拔等变形力和应 力分布的计算上。
Ob1a1 / 2 (1,1) / 2 / 2 (1,1) / 2 Oa1b1 / 2 / 2 / 2
由于三角形三个内角之和为 ，因此得
(0,0) (1,1)
式中， 和 分别为所预选的 、 线的倾角差。 于是由汉盖第一定理，可计算出点 a1 和 b1 的静水压力
自 1 作用方向顺时针旋转 / 4 ，即为 方向；逆时针方向旋 转 ( / 4) 即为 方向。据此，根据已知的 1：
α线
dy tg dx
β线 dy tg( / 2) ctg
dx
图8-2 x-y坐标系与α-β滑移经网络
§8.3汉盖（Hencky）应力方程
由平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y 得
p 2k cos2 2k sin 2 0
x
x
y
p 2k sin 2 2k cos2 0
y
x
y
第一式乘以cosФ，第二式乘以sin Ф ，然后两相加，经整 理变换后得沿α线的微分方程
p 2k 0 或 ( p 2k) 0
y(m,n) [Ay(m,n 1) By(m 1,n) ABx(m 1,n) ABx(m,n 1)]/(A B)
据此，可依次逐渐求得场内全部结点的坐标，依编码连线， 从而绘制出等倾角差为ΔФ的滑移线网。
2）特征值问题
这是已知一条不为滑移线的边界AB上任一点的应力 分量（σx、σy、τxy）的初始值，求作滑移线场的问题，即 所谓柯西（Cauchy）问题。
第8章 滑移线理论及应用
§8.1 概述 §8.2 平面应变问题和滑移线场 §8.3 汉盖（Hencky）应力方程——滑移线
的沿线力学方程 §8.4 滑移线的几何性质 §8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制 §8.6 三角形均匀场与简单扇形场
组合问题及实例
§8.1 概述
滑移线理论是根据平面应变的变形力学特点，通过联 解精确平衡微分方程与精确塑性条件，求得理想刚塑性体 平面应变问题变形力以及变形区内应力分布的一种图解与 数值计算相结合的方法。
d (S ) dS
R S
比较上两式，可得 R 1 同理 R 1
S
S
滑移线的基本性质：
• 滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为k的迹线，与主应力迹线相交 成π/4角；
• 滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布满整个塑性变形区； • 滑移线上任意一点的倾角Ф值与坐标的选择相关，而静水压力p的大小与
[(
x
y
)
/ 2]2
2 xy
这是一个以τmax为半径的圆方程，这个圆便称为一点的 应力状态的莫尔圆。
a
b
c
图8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
（a）塑性流动平面（物理平面），（b）α-β正交曲线坐标系的应力特点， （c）应力莫尔圆
根据平面流动的塑性条件， τmax = k（对Tresca塑性条件k = σT/2；对Mises塑性条件 k T / 3
类似变换可得沿β线的微分方程
p 2k 0 或 ( p 2k) 0
沿某一α线积分，得到 pa 2ka pb 2kb C1( ) 常数
或得关系式 pa pb 2k(b a )
同理
pa 2ka pb 2kb C2() 常数
或得关系式
pa pb 2k(a b)
坐标选择无关； • 沿一滑移线上的相邻两点间静水压力差（ Δ pab）与相应的倾角差
（ΔФab）成正比； • 同族的两条滑称线（如α1和α2线）与另族任意一条滑称线（如β1或β 2线）
相交两点的倾角差ΔФ ，和静水压力变化量Δp均保持不变； • 一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始位置的另一族两条
如图8-8所示，将边界线AB分成若干等分，等分点的编码 为（1，1）、（2，2）、……（m, m）。由莫尔圆的关系式， 计算出该边界上等分点的参数p(m, m)和 Φ(m, n)。
pk ( x y ) p(m, m)
k (1/ 2)tg1[( x y ) /(2 xy)] (m,m)
近二十多年来，又推广到了主应力互为异号的平面应力 问题和轴对称问题等等方面。
d x
§8.2平面应变问题和滑移线场
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零
（设duZ=0），故只有三个应变分量（d x 、 d y 、d xy ），
也称平面应变问题。平面应变问题的最大切应力为：
max ( 1 3 ) / 2
y(m, x(m,
n) n)
y(m, n x(m, n
1) 1)
ctgv
式中
v (1/2)[ (m - 1, n) (m, n)] (m - 1, n) /2 A
v (1/2)[ (m, n - 1) (m, n)] (m, n - 1) /2 B
则得
x(m,n) [ y(m,n 1) y(m 1,n) Ax(m 1,n) Bx(m,n 1)]/(A B)
滑移线理论是二十 世纪二十年代初，基于 以下实验现象而发展起 来的：当金属进入塑性 变形的初期，人们可以 从光滑的金属试样表面 观察到一些规则取向的 条纹，即所谓的“滑移 带”现象。
实验表明，条纹上各点的切线方向正好是该点的最大 切应力方向。同时，金属塑性变形的微观机理研究表明， 这些条纹也恰好是金属晶体滑移变形的实际滑移面与金属 试样表面的交线，滑移线的名称即由此而来。据此，塑性 力学上把塑性流动平面内，最大切应力等于屈服切应力的 轨迹线称为滑移线。由于各点的最大切应力平面是成对正 交的，因此滑移线在塑性流动平面内为两族正交的曲线。
4）滑动摩擦接触表面